考点规范练23平面向量基本定理及向量的坐标表示基础巩固组1.已知点A(-1,5)和向量a=(2,3),若⃗AB=3a,则点B的坐标为()A.(7,4)B.(7,14)C.(5,4)D.(5,14)答案D解析设点B的坐标为(x,y),则⃗AB=(x+1,y-5).由⃗AB=3a,得{x+1=6,y-5=9,解得{x=5,y=14.2.已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).若λ为实数,(a+λb)∥c,则λ=()A.12B.14C.1D.2答案A解析由于a+λb=(1+λ,2),故(a+λb)∥c4(1⇒+λ)-6=0,解得λ=12,故选A.3.(2017浙江三市十二校联考)已知点A(1,3),B(4,-1),则与⃗AB同方向的单位向量是()A.(35,-45)B.(45,-35)C.(-35,45)D.(-45,35)答案A解析⃗AB=⃗OB−⃗OA=(4,-1)-(1,3)=(3,-4),故与⃗AB同方向的单位向量为⃗AB|⃗AB|=(35,-45).4.已知向量⃗AC,⃗AD和⃗AB在边长为1的正方形网格中的位置如图所示,若⃗AC=λ⃗AB+μ⃗AD,则λ+μ等于()A.2B.-2C.3D.-3答案A解析如图所示,建立平面直角坐标系,1则⃗AD=(1,0),⃗AC=(2,-2),⃗AB=(1,2).因为⃗AC=λ⃗AB+μ⃗AD,所以(2,-2)=λ(1,2)+μ(1,0)=(λ+μ,2λ),所以{2=λ+μ,-2=2λ,解得{λ=-1,μ=3,所以λ+μ=2.故选A.5.如图,在△OAB中,P为线段AB上的一点,⃗OP=x⃗OA+y⃗OB,且⃗BP=2⃗PA,则()A.x=23,y=13B.x=13,y=23C.x=14,y=34D.x=34,y=14答案A解析由题意知⃗OP=⃗OB+⃗BP,又⃗BP=2⃗PA,所以⃗OP=⃗OB+23⃗BA=⃗OB+23¿)=23⃗OA+13⃗OB,所以x=23,y=13.6.若平面向量a,b满足|a+b|=1,a+b平行于x轴,b=(2,-1),则a=.答案(-1,1)或(-3,1)解析由|a+b|=1,a+b平行于x轴,得a+b=(1,0)或(-1,0),则a=(1,0)-(2,-1)=(-1,1),或a=(-1,0)-(2,-1)=(-3,1).7.已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ=.答案12解析由题可得2a+b=(4,2), c∥(2a+b),c=(1,λ),2∴4λ-2=0,即λ=12,故答案为12.8.如图,在▱ABCD中,AC,BD相交于点O,E为线段AO的中点.若⃗BE=λ⃗BA+μ⃗BD(λ,μ∈R),则λ+μ=.答案34解析由平面向量基本定理可得⃗BE=12⃗BA+12⃗BO=12⃗BA+14⃗BD,故λ=12,μ=14,所以λ+μ=34.能力提升组9.已知a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则c等于()A.-12a+32bB.12a-32bC.-32a-12bD.-32a+12b答案B解析设c=λa+μb,即(-1,2)=λ(1,1)+μ(1,-1),所以{-1=λ+μ,2=λ-μ,解得{λ=12,μ=-32,所以c=12a-32b.10.已知向量a=(3,-2),b=(x,y-1),且a∥b,若x,y均为正数,则3x+2y的最小值是()A.24B.8C.83D.53答案B解析 a∥b,∴-2x-3(y-1)=0,化简得2x+3y=3. x,y均为正数,∴3x+2y=(3x+2y)×13(2x+3y)=13(6+9yx+4xy+6)≥13×(12+2√9yx·4xy)=8,当且仅当9yx=4xy时,等号成立,3∴3x+2y的最小值是8,故选B.11.给定两个长度为1的平面向量⃗OA和⃗OB,它们的夹角为90°,如图所示,点C在以O为圆心的圆弧AB上运动,若⃗OC=x⃗OA+y⃗OB,其中x,y∈R,则x+y的最大值是()A.1B.√2C.√3D.2答案B解析法一:以O为原点,向量⃗OA,⃗OB所在直线分别为x轴、y轴建立直角坐标系,设<⃗OA,⃗OC>=θ,θ∈[0,π2],则⃗OA=(1,0),⃗OB=(0,1),⃗OC=(cosθ,sinθ).由⃗OC=x⃗OA+y⃗OB,∴{x=cosθ,y=sinθ.∴x+y=cosθ+sinθ=√2sin(θ+π4),θ+π4∈[π4,3π4],∴x+y的最大值为√2.法二: 点C在以O为圆心的圆弧AB上,∴|⃗OC|2=|x⃗OA+y⃗OB|2=x2+y2+2xy⃗OA·⃗OB=x2+y2=1≥(x+y)22.∴x+y≤√2.当且仅当x=y=√22时等号成立.12.在平面直角坐标系xOy中,已知点A,B分别在x,y轴上运动,且|AB|=2,若m=13⃗OA+23⃗OB,则|m|的取值范围是()A.[23,43]B.[13,23]C.[0,2]D.[0,2√53]答案A解析由题意,设A(a,0),B(0,b),由|AB|=2,得a2+b2=4,∴m=13⃗OA+23⃗OB=13(a,0)+23(0,b)=(13a,23b).∴|m|2=(13a)2+(23b)2=a2+4b29=4+3b29.4又0≤b2≤4,∴49≤|m|2≤169,得23≤|m|≤43.故选A.13.已知△OAB是边长为1的正三角形,若点P满足⃗OP=(2-t)⃗OA+t⃗OB(t∈R),则|⃗AP|的最小值为()A.√3B.1C.√32D.√34答案C解析以O为原点,以OB为x轴,建立坐标系, △OAB为边长为1的正三角形,∴A(12,√32),B(1,0),⃗OP=(2-t)⃗OA+t⃗OB=(1+12t,√3-√32t),⃗AP=⃗OP−⃗OA=(12t+12,√32-√32t),|⃗AP|=√(12t+12)2+(√32-√32t)2=√t2-t+1=√(t-12)2+34≥√32,故选C.14.已知向量a,b,且|b|=2,a·b=2,则|tb+(1-2t)a|(t∈R)的最小值为.答案1解析设b=(2,0),a=(x,y),由a·b=2得x=1,∴...
