高中数学第1章导数及其应用1
1常见函数的导数互动课堂苏教版选修2-2疏导引导本课时的重点是几种常见函数的导数公式
我们知道,导数的几何意义是曲线在某一点处的切线的斜率,物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度
根据导数的定义,求函数y=f(x)的导数,就是求出当Δx趋近于0时,所趋近的那个定值
(1)函数y=f(x)=C的导数
∵Δy=f(x+Δx)-f(x)=C-C=0,∴=0，∴y′==0=0
y′=0表示函数y=C图象上每一点处的切线的斜率为0,如图(1)
若y=C表示路程关于时间的函数,则y′=0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0,即一直处于静止状态
(2)函数y=f(x)=x的导数
∵Δy=(x+Δx)-x=Δx,∴=1
∴y′==1=1
y′=1表示函数y=x图象上每一点处的切线的斜率都为1,如图(2)
若y=x表示路程关于时间的函数,则y′=1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动
(3)函数y=f(x)=x2的导数
∵====2x+Δx,∴y′==(2x+Δx)=2x
y′=2x表示函数y=x2图象上点(x,y)处切线的斜率为2x,说明随着x的变化,切线的斜率也在变化,如图(3)
另一方面,从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看,y′=2x表明:当x＜0时,随着x的增加,函数y=x2减少得越来越慢;当x＞0时,随着x的增加,函数y=x2增加得越来越快
若y=x2表示路程关于时间的函数,则y′=2x可以解释为某物体做变速运动,它在时刻x的瞬时速度为2x
(4)函数y=f(x)=的导数
∵====,1∴y′==[]=
公式:(cosx)′=-sinx的证明∵y=cosx,∴Δy=cos(x+Δx)-cosx=-2sin(x+)sin∴==-sin(x+)·∴y′=(cosx)′==-sin(x+)·=-sinx
对数函数、指数函数的导数公式的巩固
