高中数学第1章导数及其应用1.2.1常见函数的导数互动课堂苏教版选修2-2疏导引导本课时的重点是几种常见函数的导数公式.我们知道,导数的几何意义是曲线在某一点处的切线的斜率,物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度.根据导数的定义,求函数y=f(x)的导数,就是求出当Δx趋近于0时,所趋近的那个定值.(1)函数y=f(x)=C的导数.∵Δy=f(x+Δx)-f(x)=C-C=0,∴=0，∴y′==0=0.y′=0表示函数y=C图象上每一点处的切线的斜率为0,如图(1).若y=C表示路程关于时间的函数,则y′=0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0,即一直处于静止状态.(2)函数y=f(x)=x的导数.∵Δy=(x+Δx)-x=Δx,∴=1.∴y′==1=1.y′=1表示函数y=x图象上每一点处的切线的斜率都为1,如图(2).若y=x表示路程关于时间的函数,则y′=1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动.(3)函数y=f(x)=x2的导数.∵====2x+Δx,∴y′==(2x+Δx)=2x.y′=2x表示函数y=x2图象上点(x,y)处切线的斜率为2x,说明随着x的变化,切线的斜率也在变化,如图(3).另一方面,从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看,y′=2x表明:当x＜0时,随着x的增加,函数y=x2减少得越来越慢;当x＞0时,随着x的增加,函数y=x2增加得越来越快.若y=x2表示路程关于时间的函数,则y′=2x可以解释为某物体做变速运动,它在时刻x的瞬时速度为2x.(4)函数y=f(x)=的导数.∵====,1∴y′==[]=.公式:(cosx)′=-sinx的证明∵y=cosx,∴Δy=cos(x+Δx)-cosx=-2sin(x+)sin∴==-sin(x+)·∴y′=(cosx)′==-sin(x+)·=-sinx.对数函数、指数函数的导数公式的巩固.对于公式(lnx)′=和(ex)′=ex很好记，但对于公式(logax)′=logae和(ax)′=axlna的记忆就较难，特别是两个常数logae、lna很容易混淆.应从以下几方面加深对公式的理解和记忆：①区分公式的结构特征，从纵的方面“(lnx)′与(logax)′”，和(ex)′与(ax)′”区分，又要从横的方面“(logax)′与(ax)′”区分，找出差异，记忆公式.②对公式(logax)′，用(lnx)′和复合函数求导法则证明来帮助记忆，即求证对数函数导数公式(logax)′=logae.证明如下：(logax)′=()=logae.这样知道了(logax)′=1xlogae中logae的来历，对于公式的记忆和区分是很有必要的.活学巧用1.求下列函数的导数(1)y=x12;(2)y=;(3)y=.解析：(1)y=(x12)′=12x12-1=12x11；(2)y=(x-4)′=(-4)x-4-1=-4x-5=;(3)y=()′=()′==2.某圆形容器的底面直径为2m，深度为1m，盛满液体后以0.01m3/s的速度放出，求液面高度的变化率.2解析：设液体放出ts后的液面高度为hm，则由题意得：π·12·h=π·12·1-0.01t，化简，得h=，∴液面高度的变化率为：h′=()′=01.03.下列结论不正确的是()A.若y=3，则y′=0B.若y=则y′=C.若y=，则y′=D.若y=3x，则y′=3解析：∵y′=()′=()′=，∴选B.答案：B4.如图，质点P在半径为1m的圆上沿逆时针做匀角速运动，角速度1rad/s，设A为起始点，求时刻t时，点P在y轴上的射影点M的速度.解析：时刻t时，∵角速度1rad/s，∴∠POA=1·t=trad∴∠MPO=∠POA=trad∴OM=OP·sin∠MPO=1·sint∴点M的运动方程为y=sint∴v=y′=(sint)′=cost即时刻t时，点P在y轴上的射影点M的速度为costm/s.5.假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p(单位：元)与时间t(单位：年)有如下函数关系：p(t)=p0(1+%)t，其中p0为t=0时的物价，假定某种商品的p0=1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？(精确到0.01)解析：∵p0=1,∴p(t)=(1+%)t=1.05t.根据基本初等函数导数公式表，有p′(t)=(1.05t)′=1.05t·ln1.05.∴p′(10)=1.0510·ln1.05≈0.08(元/年).因此，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨.6.(2004全国高考，文19)已知直线l1为曲线y=x2+x-2在(1，0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.(1)求直线l2的方程；3(2)求由直线l1、l2和x轴所围成的三角形的面积.解析：(1)y′=2x+1.直线l1的方程为y=3x-3.设直线l2过曲线y=x2+x-2上的点B(b,b2+b-2),则l2的方程为y=(2b+1)x-b2-2.因为l1⊥l2,则有2b+1=,b=.所以直线l2的方程为y=.(2)解方程组得所以直线l1和l2交点的坐标为(,).l1、l2与x轴交点的坐标分别为(1,0)、(,0).所以所求三角形的面积S=××||=.4
