高中数学 电子题库 第二章2知能演练轻松闯关 北师大版选修2-1VIP免费

高中数学电子题库第二章2知能演练轻松闯关北师大版选修2-11.(2012·抚州质检)如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＋D1C1－BB1＝()A.AB1B.DCC.ADD.BA解析：选B.∵D1C1＝A1B1，∴AA1＋D1C1－BB1＝AA1＋A1B1－BB1＝AB1＋B1B＝AB.又AB＝DC，∴AA1＋D1C1－BB1＝DC.2.已知，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°，则AC′等于()A．85B.C．5D．50解析：选B.AC′＝AB＋AD＋AA′，∴|AC′|＝＝＝.3.(2012·宝鸡检测)如图，在四面体OABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则OE＝________(用a、b、c表示)．解析：AD＝(AB＋AC)＝(OB－OA＋OC－OA)＝(b＋c－2a)，∴OE＝OA＋AD＝a＋(b＋c－2a)＝a＋b＋c.答案：a＋b＋c4.已知正方体ABCD－A1B1C1D1，点E、F分别是上底面A1C1和侧面CD1的中心，若EF＋λA1D＝0，则λ＝______．解析：连接A1C1，C1D，则EF为△A1C1D的中位线，∴EF＝A1D，即EF＋(－)A1D＝0，∴λ＝－.答案：－[A级基础达标]1.(2012·驻马店检测)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则下列与向量D1B相等的向量表达式是()A．－a＋b＋cB．－a－b＋cC．a－b－cD．－a＋b－c答案：C2.设a，b是不共线的两个向量，λ，μ∈R，且λa＋μb＝0，则()A．a＝b＝0B．λ＝μ＝0C．λ＝0，b＝0D．μ＝0，a＝0解析：选B.假设λ，μ中至少一个不为零，不妨设λ≠0，则由λa＋μb＝0，有a＝－b，∴a∥b，与a，b不共线矛盾．∴μ＝λ＝0.13.如图，已知A、B、C三点不共线，P为一定点，O为平面ABC外任一点，则下列能表示向量OP的为()A.OA＋2AB＋2ACB.OA－3AB－2ACC.OA＋3AB－2ACD.OA＋2AB－3AC解析：选C.连接AP，在△OAP中，OP＝OA＋AP，又AP＝3AB＋2CA，∴OP＝OA＋3AB－2AC.4.(2012·延安调研)已知空间向量s，r不共线，若向量a＝ts＋r，b＝s－t2r，设a与b共线，则实数t的值为________．解析：a与b共线，则存在实数λ，使得a＝λb，即ts＋r＝λ(s－t2r)，由s，r不共线，得，解得答案：－15.命题：①向量a、b、c共面，则它们所在的直线也共面；②若a与b共线，则存在唯一的实数λ，使b＝λa；③若A、B、C三点不共线，O是平面ABC外一点，OM＝OA＋OB＋OC，则点M一定在平面ABC上，且在△ABC内部．上述命题中的真命题是________．解析：①中a所在的直线其实不确定，故①是假命题；②中当a＝0，而b≠0时，则找不到实数λ，使b＝λa，故②是假命题；③中M是△ABC的重心，故M在平面ABC上且在△ABC内，故③是真命题．答案：③6.如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AD与BC的中点，证明：EF＝(AB＋DC)．证明：EF＝ED＋DC＋CF＝AD＋DC＋CB＝(AB＋BD)＋DC＋CB＝AB＋DC＋(CB＋BD)＝AB＋DC＋CD＝(AB＋DC)．[B级能力提升]7.(2012·南昌检测)在正三棱锥ABCD中，E、F分别为棱AB，CD的中点，设EF，AC＝α，EF，BD＝β，则α＋β等于()A.B.C.D.解析：选D.如图，取BC的中点G，连接EG、FG，则EG∥AC，FG∥BD.∴∠GEF＝＝α，∠EFG＝＝β.设正三棱锥ABCD的棱长为2，则EG＝FG＝1，EF＝.∴∠EGF＝，∴α＋β＝∠GEF＋∠EFG＝.28.设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足AB·AC＝0，AC·AD＝0，AB·AD＝0，则△BCD是()A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．不确定解析：选B.AB·AC＝0⇒AB⊥AC.同理可得AC⊥AD，AB⊥AD.设AB＝a，AC＝b，AD＝c，则BC＝，CD＝，BD＝，所以在△BCD中，cos∠BCD＝＞0，故∠BCD为锐角．同理∠CBD，∠BDC亦为锐角，所以△BCD为锐角三角形．9.(2012·西安调研)如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则直线AB1和BM的位置关系是________．解析：因为AB1＝AA1＋AB，BM＝BC＋CC1＝BC＋AA1，设三棱柱的各棱长均为a，则AB1·BM＝(AA1＋AB)·(BC＋AA1)＝AA1·BC＋AA12＋AB·BC＋AB·AA1＝0＋a2＋a2cos120°＋0＝0.所以AB1⊥BM.答案：垂直10.设O为空间任意一点，点G是△ABC的重心，设OA＝a，OB＝b，OC＝c，求证OG＝(a＋b＋c)．证明：如图所示，设AM是△ABC的一条中线，则AG＝AM＝·(AB＋AC)＝(b－a＋c－a)，∴OG＝OA＋AG＝a＋(b－a＋c－a)＝(a＋b＋c)．11.(创新题)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是DD1的中点，O是底面ABCD的中心，试用向量证明B1O⊥平面PAC.证明：设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则AC＝a＋b，AP＝AD＋DP＝b＋c，B1O＝B1B＋BO＝－c＋(b－a)＝－a＋b－c.∵AC·B1O＝(a＋b)·＝－|a|2＋a·b－a·c－a·b＋|b|2－b·c＝－|a|2＋0－0－0＋|b|2－0＝0，∴AC·B1O＝0，∴B1O⊥AC.同理，B1O⊥AP，且AC∩AP＝A，故B1O⊥平面PAC.3