3.2立体几何中的向量方法第2课时空间向量与垂直关系A级基础巩固一、选择题1．若直线l的方向向量a＝(1，0，2)，平面α的法向量为u＝(－2，0，－4)，则()A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．l与α斜交解析：所以u＝－2a，所以a∥u，所以l⊥α.答案：B2．若a＝(2，－1，0)，b＝(3，－4，7)，且(λa＋b)⊥a，则λ的值是()A．0B．1C．－2D．2解析：λa＋b＝λ(2，－1，0)＋(3，－4，7)＝(3＋2λ，－4－λ，7)，因为(λa＋b)⊥a，所以2(3＋2λ)＋4＋λ＝0，即λ＝－2.答案：C3．若平面α、β的法向量分别为a＝(－1，2，4)，b＝(x，－1，－2)，并且α⊥β，则x的值为()A．10B．－10C.D．－解析：因为α⊥β，则它们的法向量也互相垂直，所以a·b＝(－1，2，4)×(x，－1，－2)＝0，解得x＝－10.答案：B4．两平面α、β的法向量分别为u＝(3，－1，z)，v＝(－2，－y，1)，若α⊥β，则y＋z的值是()A．－3B．6C．－6D．－12解析：α⊥β⇒u·v＝0⇒－6＋y＋z＝0，即y＋z＝6.答案：B5.在三棱锥PABC中，CP，CA，CB两两垂直，AC＝CB＝1，PC＝2，如图，建立空间直角坐标系，则下列向量中是平面PAB的法向量的是()A.B．(1，，1)C．(1，1，1)1D．(2，－2，1)答案：A二、填空题6．若l的方向向量为(2，1，m)，平面α的法向量为，且l⊥α，则m＝________．解析：由l⊥α得，＝＝，即m＝4.答案：47．平面α，β的法向量分别为(－1，2，4)，(x，－1，－2)，并且α⊥β，则x的值为________．解析：因为α⊥β，所以它们的法向量也互相垂直，则有－x－2－8＝0，所以x＝－10.答案：－108．向量a＝(－1，2，－4)，b＝(2，－2，3)是平面α内的两个不共线的向量，直线l的一个方向向量m＝(2，3，1)，则l与α是否垂直？________(填“是”或“否”)．解析：m·a＝(2，3，1)·(－1，2，－4)＝－2＋6－4＝0，m·b＝(2，3，1)·(2，－2，3)＝4－6＋3＝1≠0.所以l与α不垂直．答案：否三、解答题9．在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为底面ABCD的中心，求证：OB1⊥平面PAC.证明：如图，建立空间直角坐标系，不妨设正方体棱长为2，则A(2，0，0)，P(0，0，1)，C(0，2，0)，B1(2，2，2)，O(1，1，0)．于是OB1＝(1，1，2)，AC＝(－2，2，0)，AP＝(－2，0，1)，由于OB1·AC＝－2＋2＋0＝0及OB1·AP＝－2＋0＋2＝0.所以OB1⊥AC，OB1⊥AP，所以OB1⊥AC，OB1⊥AP.又AC∩AP＝A，所以OB1⊥平面PAC.10．三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A1B1C1，∠BAC＝90°，A1A⊥平面ABC，A1A＝，AB＝AC＝2A1C1＝2，D为BC中点．证明：平面A1AD⊥平面BCC1B1.2证明：法一：如图，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，A1(0，0，)，C1(0，1，)，因为D为BC的中点，所以D点坐标为(1，1，0)，所以BC＝(－2，2，0)，AD＝(1，1，0)，AA1＝(0，0，)，因为BC·AD＝－2＋2＋0＝0，BC·AA1＝0＋0＋0＝0，所以BC⊥AD，BC⊥AA1，所以BC⊥AD，BC⊥AA1，又AD∩AA1＝A，所以BC⊥平面ADA1，而BC⊂平面BCC1B1，所以平面A1AD⊥平面BCC1B1.法二：同法一，得AA1＝(0，0，)，AD＝(1，1，0)，BC＝(－2，2，0)，CC1＝(0，－1，)，设平面A1AD的法向量n1＝(x1，y1，z1)，平面BCC1B1的法向量为n2＝(x2，y2，z2)．由得令y1＝－1得x1＝1，z1＝0，所以n1＝(1，－1，0)．由解令y2＝1，得x2＝1，z2＝，所以n2＝.所以n1·n2＝1－1＋0＝0，所以n1⊥n2.所以平面A1AD⊥平面BCC1B1.B级能力提升1．在正方体ABCDA1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于()A．ACB．BDC．A1DD．A1A答案：B2．已知点A，B，C的坐标分别为(0，1，0)，(－1，0，1)，(2，1，1)，点P的坐标为(x，0，z)，若PA⊥AB，PA⊥AC，则点P的坐标为________．解析：因为AB＝(－1，－1，1)，AC＝(2，0，1)，PA＝(－x，1，－z)，由PA·AB＝0，PA·AC＝0，得则x＝，z＝－，所以P.答案：3.在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱BC的中点，试在棱CC1上求一点P，使得平面A1B1P⊥3平面C1DE.解：如图，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，P(0，1，a)，则A1(1，0，1)，B1(1，1，1)，E，C1(0，1，1)，A1B1＝(0，1，0)，A1P＝(－1，1，a－1)，DE＝，DC1＝(0，1，1)．设平面A1B1P的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则⇒所以x1＝(a－1)z1，y1＝0.令z1＝1，得x1＝a－1，所以n1＝(a－1，0，1)．设平面C1DE的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则⇒⇒令y2＝1，得x2＝－2，z2＝－1，所以n2＝(－2，1，－1)．因为平面A1B1P⊥平面C1DE，所以n1·n2＝0，即－2(a－1)－1＝0，得a＝.所以当P为CC1的中点时，平面A1B1P⊥平面C1DE.4
