专题02平面向量与复数1．在等腰梯形ABCD中，AB＝－2CD，M为BC的中点，则AM＝()A.AB＋ADB.AB＋ADC.AB＋ADD.AB＋AD解析：因为AB＝－2CD，所以AB＝2DC.又M是BC的中点，所以AM＝＝(AB＋AD＋DC)＝(AB＋AD＋AB)＝AB＋AD，故选B.答案：B2．已知e1，e2是不共线向量，a＝me1＋2e2，b＝ne1－e2，且mn≠0，若a∥b，则等于()A．－B.C．－2D．2解析： a∥b，∴a＝λb，即me1＋2e2＝λ(ne1－e2)，则，故＝－2.答案：C3.如图，在等腰直角三角形ABO中，OA＝OB＝1，C为AB上靠近点A的四等分点，过点C作AB的垂线l，P为垂线上任一点，则OP·(OB－OA)＝()A．－B.C．－D.答案：A4．设向量a＝(cosα，－1)，b＝(2，sinα)，若a⊥b，则tan＝()A．－B.C．－1D．0解析：由已知可得，a·b＝2cosα－sinα＝0，∴tanα＝2，tan＝＝，故选B.答案：B5.如图，在半径为1，圆心角为90°的直角扇形OAB中，Q为上一点，点P在扇形内(含边界)，且OP＝tOA＋(1－t)·OB(0≤t≤1)，则OP·OQ的最大值为()A.B.C.D．1答案：D6．设复数z满足＝i(i为虚数单位)，则z2016＝()A．21008B．21008iC．－21008D．－21008i解析：由＝i得z－i＝zi＋i，z＝＝＝－1＋i，则z2＝(－1＋i)2＝－2i，从而z2016＝(z2)1008＝(－2i)1008＝21008×i1008＝21008×(i4)252＝21008.故选A.答案：A7．如图在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是、，则复数的值是（）A．﹣1+2iB．﹣2﹣2iC．1+2iD．1﹣2i【答案】A8．设复数（为虚数单位），则的共轭复数为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以.9．复数满足，则（）A．B．C．D．【答案】A.【解析】由题意得，，∴，故选A．10.函数y＝tan的部分图象如图所示，则(OA＋OB)·AB＝()A.4B.6C.1D.2解析由条件可得B(3，1)，A(2，0)，∴(OA＋OB)·AB＝(OA＋OB)·(OB－OA)＝OB2－OA2＝10－4＝6.答案B11.已知a，b均为单位向量，(2a＋b)·(a－2b)＝－，则向量a，b的夹角为()A.B.C.D.解析因为a，b均为单位向量，所以(2a＋b)·(a－2b)＝2－2－3a·b＝－，解得a·b＝，所以cos〈a，b〉＝＝，又〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝.答案A12.已知两个非零向量a，b的夹角为60°，且|a|＝|b|＝3，c＝ta＋(1－t)b，若b⊥c，则t＝________.13.如图，在△ABC中，∠C＝90°，且AC＝BC＝3，点M满足BM＝2MA，则CM·CB＝________.解析法一如图，建立平面直角坐标系.由题意知：A(3，0)，B(0，3)，设M(x，y)，由BM＝2MA，得解得即M点坐标为(2，1)，所以CM·CB＝(2，1)·(0，3)＝3.法二CM·CB＝(CB＋BM)·CB＝CB2＋CB×＝CB2＋CB·(CA－CB)＝CB2＝3.答案314.已知A，B，C是平面上不共线的三点，若动点P满足OP＝OA＋λ，λ∈(0，＋∞)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的________(填重心、垂心、内心或外心).15.已知向量a＝，b＝，且x∈.(1)求a·b及|a＋b|；(2)若f(x)＝a·b－2λ|a＋b|的最小值是－，求λ的值.解(1)a·b＝coscos－sinsin＝cos2x，|a＋b|＝＝＝2，因为x∈，所以cosx≥0，所以|a＋b|＝2cosx.(2)由(1)，可得f(x)＝a·b－2λ|a＋b|＝cos2x－4λcosx，即f(x)＝2(cosx－λ)2－1－2λ2.因为x∈，所以0≤cosx≤1.①当λ＜0时，当且仅当cosx＝0时，f(x)取得最小值－1，这与已知矛盾；②当0≤λ≤1时，当且仅当cosx＝λ时，f(x)取得最小值－1－2λ2，由已知得－1－2λ2＝－，解得λ＝；③当λ＞1时，当且仅当cosx＝1时，f(x)取得最小值1－4λ，由已知得1－4λ＝－，解得λ＝，这与λ＞1相矛盾；综上所述λ＝.16．设复数z=a+i（i是虚数单位，a∈R，a＞0），且|z|=．（Ⅰ）求复数z；（Ⅱ）在复平面内，若复数+（m∈R）对应的点在第四象限，求实数m取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ），，即，解得，又，，；（Ⅱ）则，，又复数对应的点在第四象限，得，.17．已知平面上三个向量，其中．（1）若，且，求的坐标；（2）若，且，求与夹角的余弦值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为，所以设，，，所以或．（2）因为，所以，，所以．18．已知椭圆的离心率为，直线l：y=x+2与以原点O为圆心，椭圆的短轴长为直径的圆O相切．（1）求椭圆C的方程；（2）求椭圆C与直线y=kx（k＞0）在第一象限的交点为A．①设，且，求k的值；...
