课时跟踪训练(二十)空间向量基本定理1．空间中的四个向量a，b，c，d最多能构成基底的个数是________．2.如图所示，设O为▱ABCD所在平面外任意一点，E为OC的中点，若AE�＝OD�＋xOB�＋yOA�，则x＝________，y＝________.3．已知空间四边形OABC，其对角线为AC、OB，M、N分别是OA、BC的中点，点G是MN的中点，取{OA�，OB�，OC�}为基底，则OG�＝________.4．平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，若AC�＝xAB�＋2yBC�－3zCC′―→，则x＋y＋z＝________.5．设a、b、c是三个不共面向量，现从①a＋b，②a－b，③a＋c，④b＋c，⑤a＋b－c中选出一个使其与a、b构成空间向量的一个基底，则可以选择的向量为______(填写序号)．6．若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，d＝αa＋βb＋γc，求α、β、γ的值．7.如图所示，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是AC和A1D的一个三等分点，且＝，＝2，设AB�＝a，AD�＝b，1AA�＝c，试用a，b，c表示MN�.8.如图所示，平行六面体OABC－O′A′B′C′，且OA�＝a，OC�＝b，OO�＝c，用a，b，c表示如下向量：(1)OB�、OB�、AC�；(2)GH�(G、H分别是B′C和O′B′的中点)．1答案1．解析：当四个向量任何三个向量都不共面时，每三个就可构成一个基底，共有4组．答案：42．解析：∵AE�＝OE�－OA�＝OC�－OA�＝(OD�＋DC�)－OA�＝OD�＋AB�－OA�＝OD�＋(OB�－OA�)－OA�＝OD�＋OB�－OA�，∴x＝，y＝－.答案：－3．解析：如图，OG�＝(OM�＋ON�)＝OM�＋×(OB�＋OC�)＝OA�＋OB�＋OC�＝(OA�＋OB�＋OC�)．答案：(OA�＋OB�＋OC�)4．解析：∵AC�＝AB�＋BC�＋CC�＝xAB�＋2yBC�－3zCC�，∴x＝1,2y＝1，－3z＝1，即x＝1，y＝，z＝－.∴x＋y＋z＝1＋－＝.答案：5．解析：根据基底的定义，∵a，b，c不共面，∴a＋c，b＋c，a＋b－c都能与a，b构成基底．答案：③④⑤6．解：由题意a、b、c为三个不共面的向量，所以由空间向量定理可知必然存在惟一的有序实数对{α，β，γ}，使d＝αa＋βb＋γc，∴d＝α(e1＋e2＋e3)＋β(e1＋e2－e3)＋γ(e1－e2＋e3)＝(α＋β＋γ)e1＋(α＋β－γ)e2＋(α－β＋γ)e3.又∵d＝e1＋2e2＋3e3，∴解得7.解：如图所示，连接AN，则MN�＝MA�＋AN�由ABCD是平行四边形，可知AC�＝AB�＋AD�＝a＋b，MA�＝－AC�＝－(a＋b)．AN�＝1AD�＝(b－c)，AN�＝AD�＋DN�＝AD�－AN�＝b－(b－c)＝(c＋2b)，所以MN�＝MA�＋AN�＝－(a＋b)＋(c＋2b)＝(－a＋b＋c)．8．解：(1)OB�′＝OB�＋BB�＝OA�＋OC�＋OO�＝a＋b＋c，2OB�＝OO�＋OB�＝OO�＋OA�＋OC�＝－c＋a＋b＝a＋b－c，AC�＝AC�＋CC�′＝AB�＋AO�＋AA�＝OC�＋AA�－OA�＝b＋c－a.(2)GH�＝GO�＋OH�＝－OG�＋OH�＝－(OB�′＋OC�)＋(OB�＋OO�)＝－(a＋b＋c＋b)＋(a＋b＋c＋c)＝(c－b)．3
