课时作业13三角形中的几何计算|基础巩固|(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(济南历城区二中调研)已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，∠A＝60°，c＝2，且△ABC的面积为，则边b的长为()A．4B．3C．2D．1解析：S△ABC＝bcsinA＝，即×b×2×＝，所以b＝1.故选D.答案：D2．已知△ABC周长为20，面积为10，A＝60°，则BC边长为()A．5B．6C．7D．8解析：由题设a＋b＋c＝20，bcsin60°＝10，所以bc＝40.a2＝b2＋c2－2bccos60°＝(b＋c)2－3bc＝(20－a)2－120.所以a＝7.即BC边长为7.答案：C3．如图，在四边形ABCD中，已知B＝C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则该四边形的面积等于()A.B．5C．6D．7解析：连结BD，在△BCD中，由余弦定理，得BD2＝22＋22－2×2×2·cos120°＝12，即BD＝2.∵BC＝CD，∴∠CBD＝30°，∴∠ABD＝90°，即△ABD为直角三角形．故S四边形ABCD＝S△BCD＋S△ABD＝×2×2×sin120°＋×4×2＝5.答案：B4．在△ABC中，三边长分别为a－2，a，a＋2，最大角的正弦值为，则这个三角形的面积为()A.B.C.D.解析：设最大角为θ，则cosθ＝＝.因为sinθ＝，1若θ＝60°，则＝，无解．若θ＝120°，则cosθ＝－，所以＝－，所以a＝5，故三边分别为3,5,7.所以S△ABC＝×3×5×＝.故选B.答案：B5．在△ABC中，∠BAC＝120°，AD为∠BAC的平分线，AC＝3，AB＝6，则AD的长是()A．2B．2或4C．1或2D．5解析：如图，由已知条件可得∠DAC＝∠DAB＝60°.因为AC＝3，AB＝6，S△ACD＋S△ABD＝S△ABC，所以×3×AD×＋×6×AD×＝×3×6×，解得AD＝2.答案：A二、填空题(每小题5分，共15分)6.如图，△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2，点D在BC边上，∠ADC＝45°，则AD的长度等于________．解析：在△ABC中，由余弦定理，得cosC＝＝，所以sinC＝.在△ADC中，由正弦定理，得AD＝＝＝.答案：7．在△ABC中，三边a，b，c与面积S的关系式为a2＋4S＝b2＋c2，则角A＝________.解析：4S＝b2＋c2－a2＝2bccosA，∵4·bcsinA＝2bccosA，∴tanA＝1，又∵A∈(0°，180°)，∴A＝45°.答案：45°8.2如图，在△ABC中，AB＝a，AC＝b，△BCD为等边三角形，则当四边形ABDC的面积最大时，∠BAC＝________.解析：设∠BAC＝θ，则BC2＝a2＋b2－2abcosθ，所以S四边形ABDC＝S△ABC＋S△BCD＝absinθ＋BC2＝(a2＋b2)＋absin(θ－60°)，则当∠BAC＝θ＝150°时，S四边形ABDC取得最大值．答案：150°三、解答题(每小题10分，共20分)9．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cosB＝，b＝2.(1)当A＝30°时，求a的值；(2)当△ABC的面积为3时，求a＋c的值．解析：(1)因为cosB＝>0，B∈(0°，90°)，所以sinB＝.由正弦定理＝可得＝，所以a＝.(2)因为△ABC的面积S＝ac·sinB，sinB＝，所以ac＝3，ac＝10.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，即4＝a2＋c2－ac＝a2＋c2－16，即a2＋c2＝20.所以(a＋c)2－2ac＝20，(a＋c)2＝40.因为a＋c>0，所以a＋c＝2.10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，求证：－＝c.证明：由余弦定理的推论得cosB＝，cosA＝，代入等式右边，得右边＝c＝＝＝－＝左边，所以－＝c.|能力提升|(20分钟，40分)11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示△ABC的面积，若acosB＋bcosA＝csinC，S＝(b2＋c2－a2)，则B的度数为()A．90°B．60°C．45°D．30°解析：因为acosB＋bcosA＝csinC，由正弦定理可得sinAcosB＋cosAsinB＝sin2C，即sin(A＋B)＝sin2C，因为sinC≠0，所以sinC＝1，故C＝90°，又S＝bcsinA＝(b2＋c2－a2)，所以sinA＝＝cosA，所以tanA＝1，3故A＝45°，所以B＝45°，故选C.答案：C12．在△ABC中，AB＝，点D是BC的中点，且AD＝1，∠BAD＝30°，则△ABC的面积为________．解析：因为AB＝，AD＝1，∠BAD＝30°，所以S△ABD＝××1×sin30°＝.又因为D为BC的中点，所以S△ABC＝2S△ABD＝.答案：13．(淄博六中期末)在△ABC中，cos2A＝cos2A－cosA.(1)求角A的大小；(2)若a＝3，sinB＝2sinC，求S△ABC.解析：(1)由已知得(2cos2A－1)＝cos2A－cosA，所以cosA＝.因为0
