4．5.4微积分基本定理一、基础达标1．已知物体做变速直线运动的位移函数s＝s(t)，那么下列命题正确的是()①它在时间段[a，b]内的位移是s＝s(t)；②它在某一时刻t＝t0时，瞬时速度是v＝s′(t0)；③它在时间段[a，b]内的位移是s＝s′(ξi)；④它在时间段[a，b]内的位移是s＝s′(t)dt.A．①B．①②C．①②④D．①②③④答案D2．若F′(x)＝x2，则F(x)的解析式不正确的是()A．F(x)＝x3B．F(x)＝x3C．F(x)＝x3＋1D．F(x)＝x3＋c(c为常数)答案B解析若F(x)＝x3，则F′(x)＝3x2，这与F′(x)＝x2不一致，故选B.3.(ex＋2x)dx等于()A．1B．e－1C．eD．e＋1答案C解析(ex＋2x)dx＝(ex＋x2)|＝(e1＋12)－(e0＋02)＝e.4．已知f(x)＝，则f(x)dx的值为()A.B.C.D．－答案B解析f(x)dx＝x2dx＋1dx＝＋1＝＋1＝，故选B.5．设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)，若f(x)dx＝f(x0)，0≤x0≤1，则x0的值为______．答案解析由已知得a＋c＝ax＋c，∴x＝，又∵0≤x0≤1，∴x0＝.6．(2013·湖南)若x2dx＝9，则常数T的值为________．答案3解析x2dx＝＝T3＝9，即T3＝27，解得T＝3.7．已知(x3＋ax＋3a－b)dx＝2a＋6且f(t)＝(x3＋ax＋3a－b)dx为偶函数，求a，b的值．解∵f(x)＝x3＋ax为奇函数，∴(x3＋ax)dx＝0，∴(x3＋ax＋3a－b)dx＝(x3＋ax)dx＋(3a－b)dx1＝0＋(3a－b)[1－(－1)]＝6a－2b.∴6a－2b＝2a＋6，即2a－b＝3，①又f(t)＝＝＋＋(3a－b)t为偶函数，∴3a－b＝0，②由①②得a＝－3，b＝－9.二、能力提升8．sin2dx等于()A.B.－1C．2D.答案D解析sin2dx＝dx＝＝，故选D.9．(2013·江西)若S1＝x2dx，S2＝dx，S3＝exdx，则S1，S2，S3的大小关系为()A．S1＜S2＜S3B．S2＜S1＜S3C．S2＜S3＜S1D.S3＜S2＜S1答案B解析S1＝x2dx＝x3S2＝＝ln2＜1，S3＝exdx＝ex＝e2－e＝e(e－1)＞，所以S2＜S1＜S3，选B.10．设f(x)＝若f[f(1)]＝1，则a＝________.答案1解析因为x＝1>0，所以f(1)＝lg1＝0.又x≤0时，f(x)＝x＋3t2dt＝x＋t3|＝x＋a3，所以f(0)＝a3.因为f[f(1)]＝1，所以a3＝1，解得a＝1.11．设f(x)是一次函数，且f(x)dx＝5，xf(x)dx＝，求f(x)的解析式．解∵f(x)是一次函数，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f(x)dx＝(ax＋b)dx＝axdx＋bdx＝a＋b＝5，xf(x)dx＝x(ax＋b)dx＝(ax2)dx＋bxdx＝a＋b＝.由，得.即f(x)＝4x＋3.12．若函数f(x)＝求f(x)dx的值．解由积分的性质，知：f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx＋f(x)dx＝x3dx＋dx＋2xdx＝＝＋－＋－＝－＋＋.三、探究与创新13．求定积分|x＋a|dx.2解(1)当－a≤－4即a≥4时，原式＝(x＋a)dx＝＝7a－.(2)当－4＜－a＜3即－3＜a＜4时，原式＝[－(x＋a)]dx＋(x＋a)dx＝－4a＋8＋＝a2－a＋.(3)当－a≥3即a≤－3时，原式＝[－(x＋a)]dx＝＝－7a＋.综上，得|x＋a|dx＝3
