第2讲椭圆、双曲线、抛物线一、选择题1．已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是()A．(－1，3)B．(－1，)C．(0，3)D．(0，)解析：选A.由题意得(m2＋n)(3m2－n)＞0，解得－m2＜n＜3m2，又由该双曲线两焦点间的距离为4，得m2＋n＋3m2－n＝4，即m2＝1，所以－1＜n＜3.2．(2018·潍坊模拟)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦点到渐近线的距离为，且离心率为2，则该双曲线的实轴的长为()A．1B.C．2D．2解析：选C.由题意知双曲线的焦点(c，0)到渐近线bx－ay＝0的距离为＝b＝，即c2－a2＝3，又e＝＝2，所以a＝1，该双曲线的实轴的长为2a＝2.3．(2018·石家庄质量检测(一))双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作倾斜角为60°的直线与y轴和双曲线的右支分别交于A，B两点，若点A平分线段F1B，则该双曲线的离心率是()A.B．2＋C．2D.＋1解析：选B.由题意可知A是F1B的中点，O是F1F2的中点(O为坐标原点)，连接BF2，则OA是△F1BF2的中位线，故OA∥BF2，故F1F2⊥BF2，又∠BF1F2＝60°，|F1F2|＝2c，所以|BF1|＝4c，|BF2|＝2c，所以2a＝4c－2c，所以e＝＝2＋，故选B.4．(2018·武汉模拟)抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，过焦点F且倾斜角为的直线与抛物线相交于A，B两点，若|AB|＝8，则抛物线的方程为()A．y2＝3xB．y2＝4xC．y2＝6xD．y2＝8x解析：选C.因为抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，所以过点F且倾斜角为的直线方程为y＝(x－)，联立直线与抛物线的方程，得⇒3x2－5px＋p2＝0，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则所以|AB|＝＝|xA－xB|＝·＝p＝8⇒p＝3，所以抛物线的方程为y2＝6x，故选C.5．(2018·高考全国卷Ⅰ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2，0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则FM·FN＝()A．5B．6C．7D．8解析：选D.法一：过点(－2，0)且斜率为的直线的方程为y＝(x＋2)，由得x2－5x＋4＝0，解得x＝1或x＝4，所以或不妨设M(1，2)，N(4，4)，易知F(1，0)，所以FM＝(0，2)，FN＝(3，4)，所以FM·FN＝8.故选D.法二：过点(－2，0)且斜率为的直线的方程为y＝(x＋2)，由得x2－5x＋4＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1>0，y2>0，根据根与系数的关系，得x1＋x2＝5，x1x2＝4.易知F(1，0)，所以FM＝(x1－1，y1)，FN＝(x2－1，y2)，所以FM·FN＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋4＝4－5＋1＋8＝8.故选D.6．(2018·贵阳模拟)过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F作圆x2＋y2＝a2的切线FM，切点为M，交y轴于点P，若PM＝λMF，且双曲线的离心率e＝，则λ＝()A．1B．2C．3D．4解析：选B.如图，|OF|＝c，|OM|＝a，OM⊥PF，所以|MF|＝b，根据射影定理得|PF|＝，所以|PM|＝－b，所以λ＝＝＝＝.因为e2＝＝＝1＋＝＝，所以＝.所以λ＝2.故选B.二、填空题7．(2018·合肥第一次质量检测)抛物线E：y2＝4x的焦点为F，准线l与x轴交于点A，过抛物线E上一点P(在第一象限内)作l的垂线PQ，垂足为Q.若四边形AFPQ的周长为16，则点P的坐标为________．解析：设P(x，y)，其中x＞0，y＞0，由抛物线的定义知|PF|＝|PQ|＝x＋1.根据题意知|AF|＝2，|QA|＝y，则⇒或(舍去)．所以点P的坐标为(4，4)．答案：(4，4)8．(2018·贵阳模拟)椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，右焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线交C于P，Q两点，若cos∠PAQ＝，则椭圆C的离心率e为________．解析：根据题意可取P，Q，所以tan∠PAF＝＝＝＝＝1－e，cos∠PAQ＝cos2∠PAF＝cos2∠PAF－sin2∠PAF＝＝＝＝，故5－5(1－e)2＝3＋3(1－e)2⇒8(1－e)2＝2⇒(1－e)2＝.又椭圆的离心率e的取值范围为(0，1)，所以1－e＝，e＝.答案：9．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，P是双曲线上任一点，若双曲线的离心率的取值范围为[2，4]，则PF1·PF2的最小值的取值范围是________．解析：设P(m，n)，则－＝1，即m2＝a2.又F1(－1，0)，F2(1，0)，则PF1＝(－1－m，－n)，PF2＝(1－m，－n)，PF1·PF2＝n2＋m2－1＝n2＋a2－1＝n2＋a2－1≥a2－1，当且仅当n＝0时取等号，所以PF1·PF2的最小值为a2－1.由2≤≤4，得≤a≤，故－≤a2－1≤－，即PF1·PF2的最小值的取值范围是.答案：三、...
