抽象函数解题思路所谓抽象函数是指没有给出解析式,只是给出一些特殊条件的函数问题,因为抽象,难以理解,因此它是高中数学函数部分的难点,但是这类问题对于发展抽象思维能力,进行数学思想方法的渗透,培养创新思想,提高数学素质,有着重要作用,所以也是重点考查内容。下面就这类问题的解题思路举例说明如下,供同学们学习参考。一、利用特殊模型的解题教材中给出了一些抽象函数的特殊模型,若充分利用这些模型解题,既可掌握解决数学问题的规律、培养解题能力,又能体会从感性通过抽象概括上升为理性的认识规律。1、用特殊模型直接解抽象函数客观题例1、已知函数f(x)对一切实数x、y满足f(0)≠0,f(x+y)=f(x)(y),且当x>0时,f(x)>1,则当x<0时,f(x)的取值范围是。解析:借助函数f(x)=ax(a>1),则0<f(a)<1评注:借助特殊函数直接解抽象函数客观题是常用的解题处理方法,可迅速得到正确答案。2、借助特殊模型为解抽象函数解答题铺路例2、已知函数f(x)(x≠0)满足f(xy)=f(x)+f(y),(1)求证:f(1)=f(-1)=0;(2)求证:f(x)为偶函数;解析:因为定义域为(-∞,0)∪(o,+∞),所以由f(x)=logax(0<a<1),理解题意显然不当,但是只要稍加变通,可以发现用f(x)=loga|x︳较为恰当。(证明过程学生自己解决)评注:借助特殊函数模型铺路是解抽象函数解答题的常用处理方法,虽然不可用特殊模型代替求解,但可借助特殊模型理解题意,类比探索出解题思路,使抽象函数变的有章可循。二、利用函数性质的解题函数的特征是通过各种各样的性质反映出来的,抽象函数也不例外,只要充分利用题设条件已表明的或通过挖掘出隐含的函数性质,就能顺利解决抽象型函数问题。1、利用奇偶性、周期性解题例3、函数f(x)是R上的奇函数,且任意x,有f(x+4)=f(x)+f(2),求f(14)解析:取x=-2,f(2)=f(-2)+f(2)∴f(-2)=0,∴f(2)=0,由条件知4是函数f(x)的一个周期,∴f(14)=f(43+2)=f(2)=0评注:要充分利用周期性,化未知为已知;运用整体思想,优化整体为局部,再由各局部的解决使整体问题得解。2、利用单调性,等价转化例4、同例1,若f(1)=2,解不等式f(3x-x2)>4解析:由抽象函数的运算规律,联想函数模型f(x)=ax,∵f(1)=2∴猜想y=2x又f(2)=f(1+1)=f(1)·f(1)=4,∴不等式可化为f(3x-x2)>f(2),因此证明单调性成为解决本题的关键。由f(x+y)=f(x)·f(y),得f(0)=f2(0),∴f(0)=1,(f(0)=0舍去)当x<0时,-x>0,而f(x)·f(-x)=f(x-x)=f(0)=1∴任意x,有f(x)>0,设任意x<x2,则x2-x1>0,f(x2-x1)>1,由f(x2)=f[x+(x2-x1)]=f(x)·f(x2-x1)>f(x)∴f(x)在R上是增函数∵f(2)=f(1+1)=f(1)·f(1)=4,∴不等式可化为f(3x-x2)>f(2),∴3x-x2>2解得1<x<2,∴不等式的解集是21|xx。评注:抽象函数与不等式结合的综合题常需利用单调性,脱掉函数记号。用心爱心专心3、用对称性,数形结合例5、已知函数f(x)对一切实数x都有f(3+x)=f(3-x),如果方程f(x)=0恰好有4个不同的实根,求这些实根之和。解析:由f(3+x)=f(3-x)知直线x=3是函数图象的对称轴,又f(x)=0有四根,现从大到小依次设为x1、x2、x3、x4,则x1与x4,x2与x3均关于x=3对称,∴x1+x4=x2+x3=3×3=9,∴x1+x2+x3+x4=18。评注:一般地,若函数f(x)满足f(a+x)=f(a-x),则直线x=a是函数图象的对称轴,利用对称性,数形结合,可使抽象函数问题迎刃而解。以上列举了求解抽象型函数问题的常规解题思路,当然对于用常规思想难以解决的数学问题,若利用一些特殊的数学思想方法求解,如合理赋值、构造方程;剖析特例、类比联想;正难则反、逆推反正;恰用递推、归纳猜想等等。处理这类问题时,常需将几种解题思想综合运用,"多管齐下"。通过抽象型函数问题的解题思想的探求,提高解题能力,培养思维的灵活性,最终达到创新思想的培养。用心爱心专心