抽象函数解题思路所谓抽象函数是指没有给出解析式，只是给出一些特殊条件的函数问题，因为抽象，难以理解，因此它是高中数学函数部分的难点，但是这类问题对于发展抽象思维能力，进行数学思想方法的渗透，培养创新思想，提高数学素质，有着重要作用，所以也是重点考查内容。下面就这类问题的解题思路举例说明如下，供同学们学习参考。一、利用特殊模型的解题教材中给出了一些抽象函数的特殊模型，若充分利用这些模型解题，既可掌握解决数学问题的规律、培养解题能力，又能体会从感性通过抽象概括上升为理性的认识规律。1、用特殊模型直接解抽象函数客观题例1、已知函数f(x)对一切实数x、y满足f(0)≠0，f(x+y)=f(x)(y),且当x＞0时，f(x)＞1,则当x＜0时，f(x)的取值范围是。解析：借助函数f(x)=ax（a＞1），则0＜f（a）＜1评注：借助特殊函数直接解抽象函数客观题是常用的解题处理方法，可迅速得到正确答案。2、借助特殊模型为解抽象函数解答题铺路例2、已知函数f（x）(x≠0)满足f(xy)=f(x)+f(y),（1）求证：f(1)=f(-1)=0；（2）求证：f(x)为偶函数；解析：因为定义域为(-∞,0)∪(o,+∞)，所以由f(x)=logax(0＜a＜1）,理解题意显然不当，但是只要稍加变通，可以发现用f(x)=loga|x︳较为恰当。（证明过程学生自己解决）评注：借助特殊函数模型铺路是解抽象函数解答题的常用处理方法，虽然不可用特殊模型代替求解，但可借助特殊模型理解题意，类比探索出解题思路，使抽象函数变的有章可循。二、利用函数性质的解题函数的特征是通过各种各样的性质反映出来的，抽象函数也不例外，只要充分利用题设条件已表明的或通过挖掘出隐含的函数性质，就能顺利解决抽象型函数问题。1、利用奇偶性、周期性解题例3、函数f（x）是R上的奇函数，且任意x，有f（x+4）=f（x）+f（2），求f（14）解析：取x=-2，f（2）=f（-2）+f（2）∴f（-2）=0，∴f（2）=0，由条件知4是函数f（x）的一个周期，∴f（14）=f（43+2）=f（2）=0评注：要充分利用周期性，化未知为已知；运用整体思想，优化整体为局部，再由各局部的解决使整体问题得解。2、利用单调性，等价转化例4、同例1，若f（1）=2，解不等式f（3x-x2）＞4解析：由抽象函数的运算规律，联想函数模型f(x)=ax，∵f（1）=2∴猜想y=2x又f（2）=f（1+1）=f（1）·f（1）=4，∴不等式可化为f（3x-x2）＞f（2），因此证明单调性成为解决本题的关键。由f（x+y）=f（x）·f（y），得f（0）=f2（0），∴f（0）=1，（f（0）=0舍去）当x＜0时，-x＞0，而f（x）·f（-x）=f（x-x）=f（0）=1∴任意x，有f（x）＞0，设任意x＜x2，则x2-x1＞0，f（x2-x1）＞1，由f（x2）=f[x+（x2-x1）]=f（x）·f（x2-x1）＞f（x）∴f（x）在R上是增函数∵f（2）=f（1+1）=f（1）·f（1）=4，∴不等式可化为f（3x-x2）＞f（2），∴3x-x2＞2解得1＜x＜2，∴不等式的解集是21|xx。评注：抽象函数与不等式结合的综合题常需利用单调性，脱掉函数记号。用心爱心专心3、用对称性，数形结合例5、已知函数f（x）对一切实数x都有f（3+x）=f（3-x），如果方程f（x）=0恰好有4个不同的实根，求这些实根之和。解析：由f（3+x）=f（3-x）知直线x=3是函数图象的对称轴，又f（x）=0有四根，现从大到小依次设为x1、x2、x3、x4，则x1与x4，x2与x3均关于x=3对称，∴x1+x4=x2+x3=3×3=9，∴x1+x2+x3+x4=18。评注：一般地，若函数f（x）满足f（a+x）=f（a-x），则直线x=a是函数图象的对称轴，利用对称性，数形结合，可使抽象函数问题迎刃而解。以上列举了求解抽象型函数问题的常规解题思路，当然对于用常规思想难以解决的数学问题，若利用一些特殊的数学思想方法求解，如合理赋值、构造方程；剖析特例、类比联想；正难则反、逆推反正；恰用递推、归纳猜想等等。处理这类问题时，常需将几种解题思想综合运用，"多管齐下"。通过抽象型函数问题的解题思想的探求，提高解题能力，培养思维的灵活性，最终达到创新思想的培养。用心爱心专心
