第14讲圆锥曲线中的综合问题1.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l.若射线y=2(x-1)(x≤1)与C,l分别交于P,Q两点,则|PQ||PF|=()A.❑√2B.2C.❑√5D.52.(2018课标全国Ⅲ,11,5分)设F1,F2是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左,右焦点,O是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF1|=❑√6|OP|,则C的离心率为()A.❑√5B.2C.❑√3D.❑√23.(2018长春质量检测(二))已知椭圆x24+y23=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F2且垂直于长轴的直线交椭圆于A,B两点,则△ABF1内切圆的半径为.4.(2018湘东五校联考)已知椭圆C的中心在原点,离心率等于12,它的一个短轴端点恰好是抛物线x2=8❑√3y的焦点.(1)求椭圆C的方程;(2)如图,已知P(2,3),Q(2,-3)是椭圆上的两点,A,B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点.若直线AB的斜率为12,求四边形APBQ面积的最大值.5.(2017课标全国Ⅱ,20,12分)设O为坐标原点,动点M在椭圆C:x22+y2=1上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足⃗NP=❑√2⃗NM.(1)求点P的轨迹方程;(2)设点Q在直线x=-3上,且⃗OP·⃗PQ=1.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.6.(2018成都第一次诊断性检测)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(❑√3,0),长半轴与短半轴长的比值为2.(1)求椭圆C的方程;(2)设经过点A(1,0)的直线l与椭圆C相交于不同的两点M,N.若点B(0,1)在以线段MN为直径的圆上,求直线l的方程.7.(2018西安八校联考)已知直线l:x=my+1过椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F,抛物线x2=4❑√3y的焦点为椭圆C的上顶点,且l交椭圆C于A,B两点,点A,F,B在直线x=4上的射影依次为D,K,E.(1)求椭圆C的方程;(2)若直线l交y轴于点M,且⃗MA=λ1⃗AF,⃗MB=λ2⃗BF,当m变化时,证明:λ1+λ2为定值;(3)当m变化时,直线AE与BD是否相交于定点?若是,请求出定点的坐标,并给予证明;若不是,请说明理由.答案全解全析1.C由y2=4x知抛物线的焦点F(1,0),准线l:x=-1,设l与x轴的交点为F1.过点P作直线l的垂线,垂足为P1,由{x=-1,y=2(x-1),x≤1,得点Q的坐标为(-1,-4),所以|FQ|=2❑√5.又|PF|=|PP1|,所以|PQ||PF|=|PQ||PP1|=|QF||FF1|=2❑√52=❑√5,故选C.2.C本题考查双曲线的几何性质.点F2(c,0)到渐近线y=bax的距离|PF2|=|bca-0|❑√1+(ba)2=b(b>0),而|OF2|=c,所以在Rt△OPF2中,由勾股定理可得|OP|=❑√c2-b2=a,所以|PF1|=❑√6|OP|=❑√6a.在Rt△OPF2中,cos∠PF2O=|PF2||OF2|=bc,在△F1F2P中,cos∠PF2O=|PF2|2+|F1F2|2-|PF1|22|PF2|·|F1F2|=b2+4c2-6a22b·2c,所以bc=b2+4c2-6a24bc⇒3b2=4c2-6a2,则有3(c2-a2)=4c2-6a2,解得ca=❑√3(负值舍去),即e=❑√3.故选C.3.答案34解析不妨设A点在B点上方,由题意知F2(1,0),将F2的横坐标代入方程x24+y23=1中,可得A点纵坐标为32,故|AB|=3,所以△ABF1内切圆的半径r=2SC=68=34(其中S为△ABF1的面积,C为△ABF1的周长4a=8).4.解析(1)设椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),则b=2❑√3.由ca=12,a2=c2+b2,得a=4,∴椭圆C的方程为x216+y212=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).设直线AB的方程为y=12x+t.代入x216+y212=1,得x2+tx+t2-12=0,由Δ>0,解得-40,y1+y2=-2m4+m2,y1y2=-34+m2....
