课时作业6函数的奇偶性与周期性一、选择题1．下列函数中，既是奇函数又在(0，＋∞)上单调递增的是(D)A．y＝ex＋e－xB．y＝ln(|x|＋1)C．y＝D．y＝x－解析：选项A，B显然是偶函数，排除；选项C是奇函数，但在(0，＋∞)上不是单调递增函数，不符合题意；选项D中，y＝x－是奇函数，且y＝x和y＝－在(0，＋∞)上均为增函数，故y＝x－在(0，＋∞)上为增函数，所以选项D正确．2．设函数f(x)为偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2x，则f(－)＝(B)A．－B.C．2D．－2解析：由已知得f(－)＝f()＝log2＝.故选B.3．(2019·唐山模拟)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)＝则g(f(－7))＝(D)A．3B．－3C．2D．－2解析：因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)＝所以f(－7)＝－f(7)＝－log2(7＋1)＝－3，所以g(f(－7))＝g(－3)＝f(－3)＝－f(3)＝－log2(3＋1)＝－2，故选D.4．已知函数f(x)＝x3＋sinx＋1(x∈R)，若f(a)＝2，则f(－a)的值为(B)A．3B．0C．－1D．－2解析：设F(x)＝f(x)－1＝x3＋sinx，显然F(x)为奇函数，又F(a)＝f(a)－1＝1，所以F(－a)＝f(－a)－1＝－1，从而f(－a)＝0.5．已知f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当x∈(0,1)时，f(x)＝3x－1，则f＝(D)A.＋1B.－1C．－－1D．－＋1解析：由题可知f(x＋2)＝f(x)＝－f(－x)，所以f＝f＝f＝－f＝－f.又当x∈(0,1)时，f(x)＝3x－1，所以f＝－1，则f＝－f＝－＋1.6．(2019·北京石景山高三模拟)已知函数f(x)＝则下列结论正确的是(D)A．f(x)是偶函数B．f(x)是增函数C．f(x)是周期函数D．f(x)的值域为[－1，＋∞)解析：因为f(－x)＝＝－f(x)，所以f(x)是奇函数；x≤0时f(x)＝sinx有增有减，所以B错；x>0，f(x)＝x3＋x不为周期函数，C错；x>0，f(x)＝x3＋x>0；x≤0时f(x)＝sinx∈[－1,1]，所以f(x)的值域为[－1，＋∞)，故选D.7．(2019·江西联盟质检)已知定义在R上的函数f(x)＝2|x＋m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(2)，b＝f(log2)，c＝f(m＋1)，则a，b，c的大小关系为(D)A．a
1，|log2|＝|log32|<1，m＋1＝1，∴a＝f(2)>c＝f(m＋1)>b＝f(log2)，故选D.8．(2019·广东综合模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝ex(x＋1)，给出下列命题：①当x>0时，f(x)＝e－x(x－1)；②函数f(x)有3个零点；③f(x)>0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)；④∀x1，x2∈R，都有|f(x1)－f(x2)|<2.正确个数为(B)A．4B．3C．2D．1解析：由题意得，当x>0时，则－x<0，因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－e－x(－x＋1)＝e－x(x－1)，所以①是正确的；令ex(x＋1)＝0，可解得x＝－1，当e－x(x－1)＝0时，可解得x＝1，又函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以有f(0)＝0，故函数的零点有3个，所以②是正确的；因为当x<0时，由f(x)＝ex(x＋1)>0，解得－10时，由f(x)＝e－x(x－1)>0，解得x>1，故f(x)>0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)，所以③是不正确的；因为当x>0时，由f(x)＝e－x(x－1)，图象过点(1,0)，又f′(x)＝e－x(2－x)，可知当00，当x>2时，f′(x)<0，所以函数在x＝2处取得极大值f(2)＝，且当x→0时，函数值趋向于－1，当x→＋∞时，函数值趋向于0，由奇函数的图象关于原点对称可作函数f(x)的图象，可得－10时，f(x)＝lnx，则f的值为－ln2.解析：由已知可得f＝ln＝－2，所以f＝f(－2)．又因为f(x)是奇函数，所以f＝f(－2)＝－f(2)＝－ln2.10．若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝－.解析：由于f(－x)＝f(x)，∴ln(e－3x＋1)－ax＝ln(e3x＋1)＋ax，化简得2ax＋3x＝0(x∈R)，则2a＋3＝0，∴a＝－.11．(2019·广西柳州联考)已知函数f(x)对任意x∈R都有f(x＋6)＋f(x)＝2f(3)，y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称且f(2)＝4，则f(22)＝－4.解析：因为y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，所以y＝f(x)的图象关于点(0,0)对称，即函数f(x)为奇函数，由f(x＋6)＋f...
