【大高考】2017版高考数学一轮总复习第3章导数及其应用第2节导数的应用模拟创新题理一、选择题1.(2016·河北邯郸模拟)做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为()A.3B.4C.5D.6解析设圆柱的底面半径为R，母线长为l，则V＝πR2l＝27π，所以l＝.S表＝πR2＋2πRl＝πR2＋2π·.所以S′表＝2πR－，令S′表＝0得R＝3，则当R＝3时，S表最小，故选A.答案A2.(2016·北京重点中学模拟)已知a≥0，函数f(x)＝(x2－2ax)ex，若f(x)在[－1，1]上是单调减函数，则a的取值范围是()A.B.C.D.解析f′(x)＝(2x－2a)ex＋(x2－2ax)ex＝[x2＋(2－2a)x－2a]ex，由题意，当x∈[－1，1]时，f′(x)≤0恒成立，即x2＋(2－2a)x－2a≤0恒成立，令g(x)＝x2＋(2－2a)x－2a，则有即解得a≥，故选C.答案C3.(2015·江西新余模拟)如图是函数f(x)＝x2＋ax＋b的部分图象，则函数g(x)＝lnx＋f′(x)的零点所在的区间是()A.B.(1，2)C.D.(2，3)解析函数f(x)＝x2＋ax＋b的部分图象得0＜b＜1，f(1)＝0，从而－2＜a＜－1，而g(x)＝lnx＋f′(x)在定义域内单调递增，g＝ln＋1＋a＜0，g(1)＝ln1＋2＋a＝2＋a＞0，∴函数g(x)＝lnx＋f′(x)的零点所在的区间是，故选C.答案C二、填空题4.(2014·山西临汾一模)函数y＝的极小值为________.解析函数的定义域为(0，＋∞)，令y＝f(x)，f′(x)＝＝.令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝e2.函数f′(x)与f(x)随x的变化情况如下表：x(0，1)1(1，e2)e2(e2，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)0则当x＝1时，函数y＝取到极小值0.答案0三、解答题5.(2015·湛江质检)已知函数f(x)＝sinx(x≥0)，g(x)＝ax(x≥0).(1)若f(x)≤g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(2)当a取(1)中的最小值时，求证：g(x)－f(x)≤x3.(1)解令h(x)＝sinx－ax(x≥0)，则h′(x)＝cosx－a.①若a≥1，h′(x)＝cosx－a≤0，h(x)＝sinx－ax(x≥0)单调递减，h(x)≤h(0)＝0，则sinx≤ax(x≥0)成立.②若0
0，h(x)＝sinx－ax(x∈(0，x0))单调递增，h(x)>h(0)＝0，不合题意.③若a≤0，结合f(x)与g(x)的图象可知显然不合题意.综上可知，a的取值范围是[1，＋∞).(2)证明当a取(1)中的最小值为1时，g(x)－f(x)＝x－sinx.设H(x)＝x－sinx－x3(x≥0)，则H′(x)＝1－cosx－x2.令G(x)＝1－cosx－x2，则G′(x)＝sinx－x≤0(x≥0)，所以G(x)＝1－cosx－x2在[0，＋∞)上单调递减，此时G(x)＝1－cosx－x2≤G(0)＝0，即H′(x)＝1－cosx－x2≤0，所以H(x)＝x－sinx－x3在x∈[0，＋∞)上单调递减.所以H(x)＝x－sinx－x3≤H(0)＝0，则x－sinx≤x3(x≥0).所以，当a取(1)中的最小值时，g(x)－f(x)≤x3.创新导向题利用导数求函数最值及判断单调性6.已知f(x)＝xlnx(x>0).(1)求f(x)的最小值.(2)F(x)＝ax2＋f′(x)，(a∈R)，讨论函数f(x)的单调性.解(1)由f(x)＝xlnx得f′(x)＝lnx＋1(x>0)，令f′(x)＝0，得x＝.∴当x∈时，f′(x)<0；当x∈时，f′(x)>0，∴当x＝时，f(x)min＝ln＝－.(2)由题意及(1)知，F(x)＝ax2＋lnx＋1(x>0)，所以F′(x)＝2ax＋＝(x>0)①当a≥0时，恒有F′(x)>0，则F(x)在(0，＋∞)上是增函数；②当a<0时，令F′(x)>0，即2ax2＋1>0，解得0.综上，当a≥0时，F(x)在(0，＋∞)上是单调递增，当a<0时，在上单调递增，在上单调递减.专项提升测试模拟精选题一、选择题7.(2016·江苏南京模拟)函数f(x)的导函数为f′(x)，对∀x∈R，都有2f′(x)>f(x)成立，若f(ln4)＝2，则不等式f(x)>e的解集是()A.(ln4，＋∞)B.(0，ln4)C.(1，＋∞)D.(0，1)解析 2f′(x)>f(x)，∴2f′(x)－f(x)>0，构造函数g(x)＝，则g′(x)＝＝>0.所以函数g(x)在R上单调递增，g(ln4)＝＝＝1，又f(x)>e，∴>1，即g(x)>g(ln4)，∴x>ln4.答案A二、填空题8.(2015·北京海淀4月模拟题)设某商品的需求函数为Q＝100－5P，其中Q，P分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性大于1，则商品价格P的取值范围是________.解析由Q＝100－5P得Q′＝－5，由＝－P知>1，∴20>P>10，由Q>0得P<20.综上，P的取值范围为(10，20).答案(10，20)9.(2014·黑龙江哈尔滨一模)函数f(x)＝x3＋3...
