高考数学复习点拨 构造一次函数和单调函数法证明不等式VIP免费

构造一次函数和单调函数法证明不等式不等式证明是中学数学的重要内容之一．由于证明不等式没有固定的模式，证法灵活多样，技巧性强，使其成为各种考试命题的热点问题，函数法证明不等式就是其常见题型．即有些不等式可以和函数建立直接联系，通过构造一次函数或单调函数式，利用函数的有关特性，完成不等式的证明．一、构造一元一次函数证明不等式例1已知|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1，求证：ab＋bc＋ca＞－1．证明把a看作自变量x，作一次函数)(xf=bx＋bc＋cx=(b＋c)x＋bc＋1．∵|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1，即|x|＜1，∴f(－1)=－b－c＋bc＋1=(1－b)(1－c)＞0，f(1)=b＋c＋bc＋1=(1＋b)(1＋c)＞0．这就是说，一次函数)(xf=bx＋bc＋cx=(b＋c)x＋bc＋1当|x|＜1时的图象位于x轴上方，所以(b＋c)a＋bc＋1＞0，即ab＋bc＋ca＞－1．例2设0＜x＜1，0＜y＜1，0＜z＜1，求证：x(1－y)＋y(1－z)＋z(1－x)＜1．证明：构造一次函数)(xf=x(1－y)＋y(1－z)＋z(1－x)，整理，得)(xf=(1－y－z)x＋(y＋z－yz)其中0＜x＜1，∵0＜x＜1，0＜y＜1，0＜z＜1，∴－1＜1－y－z＜1．⑴当0＜1－y－z＜1时，)(xf在(0，1)上是增函数，于是)(xf＜)1(f=1－yz＜1；⑵当－1＜1－y－z＜0时，)(xf在(0，1)上是减函数，于是)(xf＜)0(f=y＋z－yz=1－(1－y)(1－z)＜1；⑶当1－y－z=0，即y＋z=1时，)(xf=y＋z－yz=1－yz＜1．综上，原不等式成立．例3已知|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1，求证：abc＋2＞a＋b＋c．证明：构造一次函数)(xf=(bc－1)x＋2－b－c，这里，|a|＜1，|b|＜1，|x|＜1，则bc＜1．∵)1(f=1－bc＋2－b－c=(1－bc)＋(1－b)＋(1－c)＞0，)1(f=bc－1＋2－b－c=(1－b)(1－c)＞0，用心爱心专心∵－1＜x＜1，∴一次函数)(xf=(bc－1)x＋2－b－c的图象在x轴上方，这就是说，当|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1时，有(bc－1)a＋2－b－c＞0，即abc＋2＞a＋b＋c．例4设0≤a、b、c≤2，求证：4a＋b2＋c2＋abc≥2ab＋2bc＋2ca．证明：视a为自变量，构造一次函数)(af=4a＋b2＋c2＋abc－2ab－2bc－2ca=(bc－2b－2c＋4)a＋(b2＋c2－2bc)，由0≤a≤2，知)(af表示一条线段．又)0(f=b2＋c2－2bc=(b－c)2≥0，)2(f=b2＋c2－4b－4c＋8=(b－2)2＋(c－2)2≥0，可见上述线段在横轴及其上方，∴)(af≥0，即4a＋b2＋c2＋abc≥2ab＋2bc＋2ca．二、构造单调函数证明不等式例5已知a＞0，b＞0，求证：aa1＋bb1＞baba1．证明：构造函数)(xf=xx1，易证)(xf=xx1=1－x11当x＞0时单调递增．∵a＋b＋ab＞a＋b＞0，∴f(a＋b＋ab)＞f(a＋b)．故aa1＋bb1=)1)(1(2baabba＞)1abbaabba=f(a＋b＋ab)＞f(a＋b)=baba1．例6求证：||1||baba≤||1||aa＋||1||bb．证明：构造函数)(xf=xx1，易证)(xf=xx1=1－x11当x＞0时单调递增．∵|a|＋|b|＋|ab|＞|a＋b|，∴|)||||(|abbaf＞)|(|baf，即||1||aa＋||1||bb=|)|1|)(|1(||2||||baabba＞||||||1||||||abbaabba用心爱心专心=|)||||(|abbaf＞)|(|baf=||1||baba．故不等式成立．例7对任意自然数n求证：(1＋1)(1＋41)·…·(1＋231n)＞313n．证明：构造函数)(nf=(1＋1)(1＋41)·…·(1＋231n)·3131n，由)()1(nfnf=334313)1311(nnn=323)43()13()23(nnn＞1，∵)(nf＞0，∴)1(nf＞)(nf，即)(nf是自然数集N上的单调递增函数，∴(1＋1)(1＋41)·…·(1＋231n)＞313n．用心爱心专心