第二讲导数素能演练提升三SUNENGYANLIANTISHENGSAN掌握核心,赢在课堂1.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f'(x)在区间(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内的极小值点有()A.1个B.2个C.3个D.4个解析:f'(x)>0,f(x)单调递增,f'(x)<0,f(x)单调递减.极小值点附近函数应有先减后增的特点,即f'(x)<0→f'(x)=0→f'(x)>0,由f'(x)的图象可知只有1个极小值点.答案:A2.直线y=kx+b与曲线y=x3+ax+1相切于点(2,3),则b的值为()A.-3B.9C.-15D.-7解析:将点(2,3)分别代入曲线y=x3+ax+1和直线y=kx+b,得a=-3,2k+b=3.又k=y'|x=2=(3x2-3)|x=2=9,故b=3-2k=3-18=-15.答案:C3.函数f(x)=ax3-2ax2+(a+1)x-log2(a2-1)不存在极值点,则实数a的取值范围是()A.[1,3]B.[1,3)C.(1,3]D.(1,3)解析: a2-1>0,∴a>1或a<-1.又 函数f(x)不存在极值点,令f'(x)=3ax2-4ax+a+1=0,则Δ=16a2-4×3a(a+1)=4a(a-3)≤0.∴0≤a≤3.又 a>1或a<-1,∴1
0知a=-2,代入可得函数f(x)=x3+(-2)x2+1,可得f(1)=-.故选C.答案:C6.(2014山西忻州一模,12)定义在上的函数f(x),f'(x)是它的导函数,且恒有f(x)fD.0,∴'=>0,∴函数上单调递增,从而,即0.所以M=max{f(0),f(k)}=max{-1,(k-1)ek-k3}.令h(k)=(k-1)ek-k3+1,则h'(k)=k(ek-3k),令φ(k)=ek-3k,则φ'(k)=ek-3≤e-3<0.所以φ(k)在上单调递减,而φ·φ(1)=(e-3)<0,所以存在x0∈使得φ(x0)=0,且当k∈时,φ(k)>0,当k∈(x0,1)时,φ(k)<0,所以φ(k)在上单调递增,在(x0,1)上单调递减.因为h=->0,h(1)=0,所以h(k)≥0在上恒成立,当且仅当k=1时取得“=”.综上,函数f(x)在[0,k]上的最大值M=(k-1)ek-k3.10.(2014课标全国Ⅰ高考,理21)设函数f(x)=aexlnx+,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2.(1)求a,b;(2)证明:f(x)>1.(1)解:函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=aexlnx+ex-ex-1+ex-1.由题意可得f(1)=2,f'(1)=e.故a=1,b=2.(2)证明:由(1)知,f(x)=exlnx+ex-1,从而f(x)>1等价于xlnx>xe-x-.设函数g(x)=xlnx,则g'(x)=1+lnx.所以当x∈时,g'(x)<0;当x∈时,g'(x)>0.故g(x)在单调递减,在单调...
