课后限时集训(五十二)圆锥曲线中的定点、定值、范围、最值问题(建议用时：60分钟)1．(2018·北京高考)已知抛物线C：y2＝2px经过点P(1,2)，过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N.(1)求直线l的斜率的取值范围；(2)设O为原点，QM＝λQO，QN＝μQO，求证：＋为定值．[解](1)因为抛物线y2＝2px过点(1,2)，所以2p＝4，即p＝2.故抛物线C的方程为y2＝4x.由题意知，直线l的斜率存在且不为0.设直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0)．由得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.依题意Δ＝(2k－4)2－4×k2×1＞0，解得k＜0或0＜k＜1.又PA，PB与y轴相交，故直线l不过点(1，－2)．从而k≠－3.所以直线l斜率的取值范围是(－∞，－3)∪(－3,0)∪(0,1)．(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由(1)知x1＋x2＝－，x1x2＝.直线PA的方程为y－2＝(x－1)．令x＝0，得点M的纵坐标为yM＝＋2＝＋2.同理得点N的纵坐标为yN＝＋2.由QM＝λQO，QN＝μQO，得λ＝1－yM，μ＝1－yN.所以＋＝＋＝＋＝·＝·＝2.所以＋为定值．2．已知椭圆Q：＋y2＝1(a＞1)，F1，F2分别是其左、右焦点，以线段F1F2为直径的圆与椭圆Q有且仅有两个交点．(1)求椭圆Q的方程；(2)设过点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点P，点P横坐标的取值范围是，求|AB|的最小值．[解](1)由题意可知c＝b＝1，则a＝.故椭圆的方程为＋y2＝1.(2)设直线l方程为y＝k(x＋1)(k≠0)，代入＋y2＝1，得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点N(x0，y0)，∴x1＋x2＝－，x1x2＝.∴x0＝(x1＋x2)＝－，y0＝k(x0＋1)＝.∴AB的垂直平分线方程为y－y0＝－(x－x0)．令y＝0，得xP＝x0＋ky0＝－＋，∵xP∈，∴－≤－＋＜0.∴0＜k2≤.|AB|＝|x2－x1|＝·＝2≥，|AB|的最小值|AB|min＝.3．已知椭圆C的两个焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，且经过点E.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点F1的直线l与椭圆C交于A，B两点(点A位于x轴上方)，若AF1＝λF1B，且2≤λ＜3，求直线l的斜率k的取值范围．[解](1)根据题意，设椭圆C的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，则解得所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)根据题意可设直线l的方程为y＝k(x＋1)(k＞0)，联立方程，得消去x，得y2－y－9＝0，Δ＝＋144＞0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝①，y1y2＝②，又AF1＝λF1B，所以y1＝－λy2③.把③代入①得y1＝，y2＝，并结合②可得y1y2＝＝，则＝，即λ＋－2＝.因为2≤λ＜3，所以≤λ＋－2＜，即≤＜，且k＞0，解得0＜k≤.故直线l的斜率k的取值范围是.4．(2019·四川模拟)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l.已知以F为圆心，半径为4的圆与l交于A，B两点，E是该圆与抛物线C的一个交点，∠EAB＝90°.(1)求p的值；(2)已知点P的纵坐标为－1且在抛物线C上，Q，R是抛物线C上异于点P的另两点，且满足直线PQ和直线PR的斜率之和为－1，试问直线QR是否经过一定点，若是，求出定点的坐标；否则，请说明理由．[解](1)由题意及抛物线定义，得|AF|＝|EF|＝|AE|＝4，△AEF为边长为4的正三角形，设准线l与x轴交于点D，|AD|＝p＝|AE|＝×4＝2.(2)设直线QR的方程为x＝my＋t，点Q(x1，y1)，R(x2，y2)．由得y2－4my－4t＝0，则Δ＝16m2＋16t＞0，y1＋y2＝4m，y1y2＝－4t.又点P在抛物线C上，则kPQ＝＝＝＝，同理可得kPR＝.因为kPQ＋kPR＝－1，所以＋＝＝＝－1，解得t＝3m－.由解得m∈∪∪(1，＋∞)．所以直线QR的方程为x＝m(y＋3)－，则直线QR过定点.
