第3讲立体几何中的热点问题配套作业一、选择题1．设a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则a∥b的一个充分不必要条件是()A．a⊥c，b⊥cB．α⊥β，a⊂α，b⊂βC．a⊥α，b∥αD．a⊥α，b⊥α答案D解析对于C，在平面α内存在c∥b，因为a⊥α，所以a⊥c，故a⊥b；A，B中，直线a，b可能是平行直线，相交直线，也可能是异面直线；D中一定推出a∥b.2．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC在该正方体各个面上的正投影可能是()A．①②B．①④C．②③D．②④答案B解析由题可知平面APC⊥平面ABCD，且点P在各个面内的正投影均为正方形的中心．根据对称性，只需考虑△PAC在底面、后面、右面的正投影即可．显然△PAC在底面的正投影为正方形的对角线，在后面与右面的正投影相同，均为等腰直角三角形，故选B.3．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有()A．AH⊥平面EFHB．AG⊥平面EFHC．HF⊥平面AEFD．HG⊥平面AEF答案A解析由平面图形得AH⊥HE，AH⊥HF，又HE∩HF＝H，所以AH⊥平面EFH，故选A.4．如图所示，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形，起辅助作用)，则四面体ABCD的正视图、侧视图、俯视图是(用①②③④⑤⑥代表图形)()A．①②⑥B．①②③C．④⑤⑥D．③④⑤答案B解析正视图应为边长为3和4的长方形，且正视图中右上到左下的对角线应为实线，故正视图为①；侧视图应为边长为4和5的长方形，且侧视图中左上到右下的对角线应为实线，故侧视图为②；俯视图应为边长为3和5的长方形，且俯视图中左上到右下的对角线应为实线，故俯视图为③，故选B.5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是()A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC答案D解析因为在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，所以BD⊥CD，又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，所以CD⊥平面ABD，则CD⊥AB，又AD⊥AB，所以AB⊥平面ADC，即平面ABC⊥平面ADC，故选D.6．如图，E是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱C1D1上的一点(不与端点重合)，BD1∥平面B1CE，则()A．BD1∥CEB．AC1⊥BD1C．D1E＝2EC1D．D1E＝EC1答案D解析设B1C∩BC1＝O，如图，BD1∥平面B1CE，平面BC1D1∩平面B1CE＝OE，所以BD1∥OE.因为O为BC1的中点，所以E为C1D1的中点，所以D正确；由异面直线的定义知BD1，CE是异面直线，故A错；在矩形ABC1D1中，AC1与BD1不垂直，故B错，C显然是错的，所以选D.7．(2018·甘肃二诊)已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝，AB＝4，若在棱AB上存在点P，使得D1P⊥PC，则AD的取值范围是()A．(0,1]B．(0,2]C．(1，]D．[1,4)答案B解析连接DP，由D1P⊥PC，DD1⊥PC，且D1P，DD1是平面DD1P上两条相交直线，得PC⊥平面DD1P，PC⊥DP，即点P在以CD为直径的圆上，又点P在AB上，则AB与圆有公共点，即0＜AD≤CD＝2，故选B.二、填空题8．(2017·泉州模拟)点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，给出下列命题：①三棱锥A－D1PC的体积不变；②A1P∥平面ACD1；③DP⊥BC1；④平面PDB1⊥平面ACD1.其中正确的命题序号是________．答案①②④解析对于①，VA－D1PC＝VP－AD1C点P到面AD1C的距离，即为线BC1与面AD1C的距离，为定值，故①正确；对于②，因为面A1C1B∥面AD1C，所以线A1P∥面AD1C，故②正确；对于③，DB与BC1就成60°角，故③错误；对于④，由于B1D⊥面ACD1，所以面B1DP⊥面ACD1，故④正确．9．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，点P是线段AC1上的一动点，当∠BPD最大时，AP∶AC1＝________.答案1∶4解析连接AC，BD，交于点O，连接OP，显然OP⊥BD，∠BPD＝2∠BPO，要使∠BPD最大，只需∠BPO最大，只需OP最小，此时OP⊥AC1.由平面几何的知识易得，当OP⊥AC1时，AP∶AC1＝1∶4.10．(2018·山西太原一模)已知在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，AB＝2AD＝2CD＝2，将直...
