配餐作业(六十)定点、定值、探索性问题(时间：40分钟)1.(2016·山西联考)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(1,0)，右顶点为A，且|AF|＝1。(1)求椭圆C的标准方程；(2)若动直线l：y＝kx＋m与椭圆C有且只有一个交点P，且与直线x＝4交于点Q，问：是否存在一个定点M(t,0)，使得MP·MQ＝0。若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由。解析(1)由c＝1，a－c＝1，得a＝2，∴b＝，故椭圆C的标准方程为＋＝1。(2)由消去y得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，∴Δ＝64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12)＝0，即m2＝3＋4k2。设P(xP，yP)，则xP＝－＝－，yP＝kxP＋m＝－＋m＝，即P。 M(t,0)，Q(4,4k＋m)，∴MP＝，MQ＝(4－t,4k＋m)，∴MP·MQ＝·(4－t)＋·(4k＋m)＝t2－4t＋3＋(t－1)＝0恒成立，故即t＝1。∴存在点M(1,0)符合题意。答案(1)＋＝1(2)存在点M(1,0)2．(2017·赤峰模拟)已知E(2,2)是抛物线C：y2＝2px上一点，经过点(2,0)的直线l与抛物线C交于A，B两点(不同于点E)，直线EA，EB分别交直线x＝－2于点M，N。(1)求抛物线方程及其焦点坐标；(2)已知O为原点，求证：∠MON为定值。解析(1)将E(2,2)代入y2＝2px，得p＝1，所以抛物线方程为y2＝2x，焦点坐标为。(2)证明：设A，B，M(xM，yM)，N(xN，yN)，设直线l的方程为x＝my＋2与抛物线方程联立得到消去x，得：y2－2my－4＝0，则由根与系数的关系得：y1y2＝－4，y1＋y2＝2m，直线AE的方程为：y－2＝(x－2)，即y＝(x－2)＋2，令x＝－2，得yM＝，同理可得：yN＝。又OM＝(－2，yM)，ON＝(－2，yN)，OM·ON＝4＋yMyN＝4＋＝4＋＝4＋＝0，所以OM⊥ON，即∠MON为定值。答案(1)y2＝2x，焦点坐标(2)见解析3．(2016·湖南六校联考)如图，已知M(x0，y0)是椭圆C：＋＝1上的任一点，从原点O向圆M：(x－x0)2＋(y－y0)2＝2作两条切线，分别交椭圆于点P，Q。(1)若直线OP，OQ的斜率存在，并分别记为k1，k2，求证：k1k2为定值；(2)试问|OP|2＋|OQ|2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由。解析(1)证明：因为直线OP：y＝k1x与圆M相切，所以＝，化简得(x－2)k－2x0y0k1＋y－2＝0，同理(x－2)k－2x0y0k2＋y－2＝0，所以k1，k2是方程(x－2)k2－2x0y0k＋y－2＝0的两个不相等的实数根，所以k1·k2＝。因为点M(x0，y0)在椭圆C上，所以＋＝1，即y＝3－x，所以k1k2＝＝－，为定值。(2)|OP|2＋|OQ|2是定值，定值为9。理由如下：(ⅰ)当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立解得所以x＋y＝，同理，得x＋y＝，由k1k2＝－，得|OP|2＋|OQ|2＝x＋y＋x＋y＝＋＝＋＝＝9。(ⅱ)当直线OP，OQ落在坐标轴上时，显然有|OP|2＋|OQ|2＝9，综上：|OP|2＋|OQ|2＝9。答案(1)见解析(2)是定值9(时间：20分钟)1．(2016·山西四校联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线2x－y＋6＝0相切。(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知点A，B为动直线y＝k(x－2)(k≠0)与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在定点E，使得EA2＋EA·AB为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值；若不存在，请说明理由。解析(1)由e＝，得＝，即c＝a，①又以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆为x2＋y2＝a2，且该圆与直线2x－y＋6＝0相切，所以a＝＝，代入①得c＝2，所以b2＝a2－c2＝2，所以椭圆C的标准方程为＋＝1。(2)由，得(1＋3k2)x2－12k2x＋12k2－6＝0。设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1＋x2＝，x1x2＝。根据题意，假设x轴上存在定点E(m,0)，使得EA2＋EA·AB＝(EA＋AB)·EA＝EA·EB为定值，则EA·EB＝(x1－m，y1)·(x2－m，y2)＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2＝(k2＋1)x1x2－(2k2＋m)(x1＋x2)＋(4k2＋m2)＝，要使上式为定值，即与k无关，只需3m2－12m＋10＝3(m2－6)，解得m＝，此时，EA2＋EA·AB＝m2－6＝－，所以在x轴上存在定点E使得EA2＋EA·AB为定值，且定值为－。答案(1)＋＝1(2)存在定点E，定值－2．如图，已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，它的上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，直线AF1，AF2分别交椭圆于点B、C。(1)求证：直线BO平分线段AC；(2)设点P(m，n)(m，n为常数)在直线BO上且在椭圆外，过点P的动直线l与椭圆交于两个不同的点M、N，在线...
