第十七课时抽象函数课时作业题号123456答案1.(2008年南靖一中月考)若奇函数f(x)(x∈R)满足f(2)＝2，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，则f(1)＝()A．0B．1C．－D.2．(2008年保定联考)已知f(x)是R上的增函数，若令F(x)＝f(1－x)－f(1＋x)，则F(x)是R上的()A．增函数B．减函数C．先减后增的函数D．先增后减的函数3．(2010年厦门综合测试)已知函数f(x)满足：f(p＋q)＝f(p)f(q)，f(1)＝3，则＋＋＋＋的值为()A．15B．30C．75D．604．(2008年东城区模拟)若函数f(x)在(4，＋∞)上为减函数，且对任意的x∈R，有f(4＋x)＝f(4－x)，则()A．f(2)>f(3)B．f(2)>f(5)C．f(3)>f(5)D．f(3)>f(6)5．(2008年重庆卷)若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1，x2∈R有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)＋1，则下列说法一定正确的是()A．f(x)为奇函数B．f(x)为偶函数C．f(x)＋1为奇函数D．f(x)＋1为偶函数6．(2008年湖南十二校联考)函数y＝f(x)与y＝g(x)有相同的定义域，且都不是常数函数，对定义域中任意x，有f(x)＋f(－x)＝0，g(x)g(－x)＝1，且x≠0，g(x)≠1，则F(x)＝＋f(x)()A．是奇函数但不是偶函数B．是偶函数但不是奇函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数也不是偶函数7．设f(x)是定义在实数集R上的函数，满足f(0)＝1，且对任意实数a、b，有f(a－b)＝f(a)－b(2a－b＋1)，则f(x)的解析式为________．8．(2009年安徽六校联考)已知函数f(x)，g(x)在R上有定义，对任意的x，y∈R有f(x－y)＝f(x)g(y)－g(x)·f(y)，且f(1)≠0，则f(x)的奇偶性是________．9．函数f(x)对任意的实数m、n有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)，且当x＞0时有f(x)＞0.(1)求证：f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数；(2)若f(1)＝1，解不等式f[log2(x2－x－2)]＜2.110．已知函数y＝f(x)的定义域为R，且对任意a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，且当x＞0时，f(x)＜0恒成立，f(3)＝－3.(1)证明：函数y＝f(x)是R上的减函数；(2)证明：函数y＝f(x)是奇函数；(3)试求函数y＝f(x)在[m，n](m，n∈Z)上的值域．参考答案1．B2.B3.B4.D5.C6.B7.f(x)＝x2＋x＋18.奇函数9．解析：(1)证明：设x2＞x1，则x2－x1＞0.∵f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1＋x1)－f(x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－f(x1)＝f(x2－x1)＞0，∴f(x2)＞f(x1)，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．(2)∵f(1)＝1，∴2＝1＋1＝f(1)＋f(1)＝f(2).又f[log2(x2－x－2)]＜2，∴f[log2(x2－x－2)]＜f(2)．∴log2(x2－x－2)＜2，于是∴即－2＜x＜－1或2＜x＜3.∴原不等式的解集为{x|－2＜x＜－1或2＜x＜3}．10．解析：(1)证明：设x1，x2∈R，且x1＜x2，f(x2)＝f[x1＋(x2－x1)]＝f(x1)＋f(x2－x1)．∵x2－x1＞0，∴f(x2－x1)＜0.∴f(x2)＝f(x1)＋f(x2－x1)＜f(x1)．故f(x)是R上的减函数．(2)证明：∵f(a＋b)＝f(a)＋f(b)恒成立，∴可令a＝－b＝x，则有f(x)＋f(－x)＝f(0)，又令a＝b＝0，则有f(0)＝f(0)＋f(0)，2∴f(0)＝0.从而x∈R，f(x)＋f(－x)＝0，∴f(－x)＝－f(x)．故y＝f(x)是奇函数．(3)由于y＝f(x)是R上的单调递减函数，∴y＝f(x)在[m，n]上也是减函数，故f(x)在[m，n]上的最大值f(x)max＝f(m)，最小值f(x)min＝f(n)．∵f(n)＝f(1＋(n－1))＝f(1)＋f(n－1)＝…＝nf(1)，∴f(m)＝mf(1)．又f(3)＝3f(1)＝－3，∴f(1)＝－1，∴f(m)＝－m，f(n)＝－n.∴函数y＝f(x)在[m，n]上的值域为[－n，－m]．3
