专题09平面向量平面向量的坐标运算【背一背基础知识】1.平面向量的坐标表示①在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y使a＝xi＋yj，把有序数对叫做向量a的坐标，记作a＝，其中叫做a在x轴上的坐标，叫做a在y轴上的坐标．②设OA＝xi＋yj，则向量的坐标就是终点A的坐标，即若OA＝(x，y)，则A点坐标为，反之亦成立(O是坐标原点)．2．向量的运算(1)加法、减法、数乘运算(2)向量坐标的求法已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝，即一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标．3．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a与b共线a=b．.4．平面向量的有关运算(1)两个非零向量平行(共线)的充要条件：a∥b⇔a＝λb.两个非零向量垂直的充要条件：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a＋b|＝|a－b|.(2)若a＝(x，y)，则|a|＝＝.(3)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝.(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cosθ＝＝.【讲一讲基本技能】1.必备技能：(1)向量的坐标与点的坐标有所不同，相等向量的坐标是相同的，但起点、终点的坐标却可以不同，以原点O为起点的向量OA的坐标与点A的坐标相同．(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成＝，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2－x2y1＝0.同时，a∥b的充要条件也不能错记为：x1x2－y1y2＝0，x1y1－x2y2＝0等．2.典型例题例1已知向量，，平面上任意向量都可以唯一地表示为，则实数的取值范围是（A）（B）（C）（D）【答案】C例2．若向量，，，则＝________.【答案】【解析】设B(x，y)，由，可得，①＝x－3y＝0，②由①②得x＝3，y＝1或x＝－3，y＝－1，所以B(3,1)或B(－3，－1)，故或，，故答案为.例3.设平面向量=.【答案】【解析】试题分析:由题知1×（-2）+2y=0,解得=1，∴=（1,7），∴||==.【练一练趁热打铁】1.设e1，e2是两个不共线的向量，且a＝e1＋λe2与b＝－e2－e1共线，则实数λ＝()A.－1B.3C.－D.答案：D2.已知向量a＝(1,2)，b＝(3,1)，则b－a＝()．A．(－2,1)B．(2，－1)C．(2,0)D．(4,3)【答案】B【解析】由题意得b－a＝(3,1)－(1,2)＝(2，－1)，故选B.平面向量的数量积【背一背基础知识】1.两个向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．(2)范围：向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°，a与b同向时，夹角θ＝0°；a与b反向时，夹角θ＝180°.(3)向量垂直：如果向量a与b的夹角是，则a与b垂直，记作ab.2．平面向量数量积的意义(1)a，b是两个非零向量，它们的夹角为θ，则数|a|·|b|·cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a|·|b|·cosθ.规定0·a＝0.当a⊥b时，θ＝90°，这时a·b＝0.(2)a·b的几何意义：a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．3．向量数量积的性质(1)如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝a|cos〈a，e〉．(2)a⊥b⇒a·b＝0且a·b＝0⇒a⊥b.(3)a·a＝|a|2，|a|＝.(4)cos〈a，b〉＝.(5)|a·b||a||b|.4．数量积的运算律(1)交换律a·b＝b·a.(2)分配律(a＋b)·c＝a·c＋b·c.(3)对λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)．5．数量积的坐标运算设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则(1)a·b＝.(2)a⊥b⇔.(3)|a|＝.(4)cos〈a，b〉＝.【讲一讲基本技能】1.必备技能：（1）数量积的运算要注意a＝0时，a·b＝0，但a·b＝0时不能得得到a＝0或b＝0，因为a⊥b时，也有a·b＝0.（2）若a、b、c是实数，则ab＝ac⇒b＝c(a≠0)；但对于向量，就没有这样的性质，即若向量a、b、c满足a·b＝a·c(a≠0)，则不一定有b＝c，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量．（3）利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：①|a|2＝a2＝a·a；②|a±b|2＝a2±2a·b＋b2；③若a＝(x，y)，则|a|＝.（4）已知a与b为不共线向量，且a与b的夹角为θ，则①a·b>00°<⇔θ<90°；②a·b＝0⇔θ＝90°；③a·b<090°<⇔θ<180°.特别的：在利用两向量的夹角公式判断夹角的取值范围时，要注意两向量是否共线．（5）证明线段...
