高考数学复习点拨 求通项公式的几种方法新人教A版VIP免费

求通项公式的几种方法数列的通项公式是研究数列的重要依据，下面介绍几种求数列通项公式的方法．一、观察法已知一个数列的前几项，观察其特点，写出通项公式．例1观察下列数的特点，写出每个数列的一个通项公式．（1）2121325，，，；（2）2345381524，，，．解：（1）21nan；（2）21(1)(1)1nnnan．二、由na的前n项和nS与na间的关系，求通项已知数列na的通项公式，可以求出na的前n项和123nnSaaaa；反过来，若已知na的前n项和nS，如何求na呢？1211121(2)nnnnnSaaaaSaaan，∵≥，当1n时，11aS；当2n≥时，1nnnaSS，故11(1)(2).nnnSnaSSn，≥此处应注意1nnnaSS并非对所有的nN都成立，而只对当2n≥且为正整数时成立，因此由nS求na时必须分1n和2n≥两种情况进行讨论．例2设数列na的前n项和23()nSnnnN，求数列na的通项公式．解：当1n时，2113112aS；当2n≥时，22133(1)164nnnaSSnnnnn．此式对1n也适用．64()nannN．点评：利用数列的前n项和nS求数列的通项公式na时，要注意1a是否也满足1(2)nnnaSSn≥得出的表达式，若不满足，数列的通项公式就要用分段形式写出．三、利用公式求通项公式已知一个数列是特殊的数列，只要求出首项和公差代入公式即可求出通项．例3等差数列的前n项和记为nS，已知10203050aa，，求通项na．解：101930aad∵，①2011950aad，②②－①，得10202dd，．代入①，得112a．210nan．用心爱心专心四、利用递推关系，求通项公式根据题目中所给的递推关系，可构造等差数列或采取叠加，叠乘的方法，消去中间项求通项公式．例4根据下列条件，求数列的通项公式()nanN．（1）数列na中，21233(2)nnaaan，≥；（2）数列na中，1113nnaaan，；（3）数列na中，1111nnnaaaan，．解：（1）因为213aa，所以1233aa．又13nnaa，所以na成等差数列，公差为3．所以3(1)33nann．（2）因为13nnaan，所以2131aa，3232aa，4333aa，，13(1)nnaan．将上面1n个式子叠加，得21(1)33(1231)3()22nnnaannn，所以223331()1222nannnn．（3）由11nnnaaan，变形为121nnanan，2132aa，321413nnaanaan，，．将上面的式子叠乘，得112nana．1(1)2nan．五、两式相减，消项求通项例5数列na满足12323(1)(2)naaanannn，求na．解：由题意123123(1)(1)(1)(2)naaanannnn≥，又12323(1)(2)naaanannn，两式相减，得3(1)nnann．3(1)nan．又1n时，也适合上式，3(1)nan．总之，求数列通项公式的方法有很多，同学们要在实践中注意总结，寻找解题规律．用心爱心专心