高考数学一轮复习 专题10.11 定值问题练习（含解析）-人教版高三全册数学试题VIP免费

第十一讲定值问题一．定值问题，是指虽然圆锥曲线中的某些要素（通常可通过变量进行体现）有所变化，但在变化过程中，某个量的值保持不变即为定值.二、常见定值问题的处理方法：（1）确定一个（或两个）变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示（2）将所求表达式用核心变量进行表示（有的甚至就是核心变量），然后进行化简，看能否得到一个常数.三、定值问题的处理技巧：（1）对于较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进而给后面一般情况的处理提供一个方向.（2）在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢（3）巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始考向一特殊探究，一般证明【例1】过抛物线y＝ax2（a＞0）的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则+等于（）A．2aB．C．4aD．【答案】C【解析】方法一：特殊探究，一般证明令过焦点F直线与x轴垂直，则直线的方程为，所以【套路秘籍】---千里之行始于足下PQMNFOyx图1方法二：直接推理求值如图所示：与抛物线联立∴，【举一反三】1.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=❑√22，且椭圆过点(❑√2,1).（1）求椭圆C的标准方程.（2）设直线l与C交于M，N两点，点D在C上，O是坐标原点，若⃑OM+⃑ON=⃑OD，判定四边形OMDN的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由.【答案】(1)x24+y22=1(2)见解析【解析】（1）因为椭圆C的离心率e=❑√22，所以❑√a2−b2a=❑√22，即a2=2b2.因为点(❑√2,1)在椭圆C上，所以2a2+1b2=1.由¿，解得¿.所以椭圆C的标准方程为x24+y22=1.（2）当直线l的斜率不存在时，直线MN的方程为x=−1或x=1，此时四边形OMDN的面积为❑√6.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程是y=kx+m，联立方程组¿，消去y，得(1+2k2)x2+4kmx+2m2−4=0，Δ=8(4k2+2−m2)>0，x1+x2=−4km1+2k2，x1x2=2m2−41+2k2，y1+y2=k(x1+x2)+2m=2m1+2k2.|MN|=❑√1+k2×2❑√2❑√4k2+2−m21+2k2，点O到直线MN的距离是d=|m|❑√1+k2.由⃑OM+⃑ON=⃑OD，得xD=−4km1+2k2，yD=2m1+2k2.因为点D在曲线C上，所以有(−4km1+2k2)24+(2m1+2k2)22=1，整理得1+2k2=2m2.由题意，四边形OMDN为平行四边形，所以四边形OMDN的面积为SOMDN=|MN|d=❑√1+k22❑√2❑√4k2+2−m21+2k2×|m|❑√1+k2=2❑√2|m|❑√4k2+2−m21+2k2.由1+2k2=2m2，得SΔOMDN=❑√6，故四边形OMDN的面积是定值，其定值为❑√6.2．已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F与抛物线y=4x的焦点重合，且椭圆的离心率为12．（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆E右焦点F的直线l与椭圆交于两点A、B，在x轴上是否存在点M，使得⃑MA⋅⃑MB为定值？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）x24+y23=1（2）存在点M(118,0)，使得⃑MA⋅⃑MB=−13564【解析】（Ⅰ） 抛物线y2=4x的焦点为(1,0)，∴F(1,0)，∴c=1，又因为椭圆的离心率为12，即ca=12，∴a=2，a2=4，则b2=a2−c2=3，因此，椭圆的方程为x24+y23=1；（Ⅱ）假设存在点M(x0,0)，使得⃑MA⋅⃑MB为定值．当直线l的斜率不为零时，可设直线l的方程为x=my+1，联立¿，得(3m2+4)y2+6my−9=0，设A(x1,y1)、B(x2,y2)，由韦达定理可得y1+y2=−6m3m2+4，y1y2=−93m2+4，⃑MA=(x1−x0,y1)、⃑MB=(x2−x0,y2)，∴⃑MA⋅⃑MB=(x1−x0)(x2−x0)+y1y2=(m2+1)y1y2+(1−x0)m(y1+y2)+(1−x0)2¿−9(m2+1)3m2+4−6m⋅m(1−x0)3m2+4+(1−x0)2=(6x0−15)m2−93m2+4+(1−x0)2，要使上式为定值，即与m无关，应有6x0−153=−94，解得x0=118，此时，⃑MA⋅⃑MB=−13564.当直线l的斜率为零时，不妨设A(−2,0)、B(2,0)，当点M的坐标为(118,0)时，⃑MA⋅⃑MB=−13564．综上所述，存在点M(118,0)，使得⃑MA⋅⃑MB=−13564．考向二直接推理求值【例2】已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）经过点(❑√3，12)，且离心率为❑√32．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知A（0，b），B（a，0），点P是椭圆C上位于第三象限的动点，直线AP、BP分别将x轴、y轴...