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高考数学一轮复习 专题10.11 定值问题练习(含解析)-人教版高三全册数学试题VIP免费

高考数学一轮复习 专题10.11 定值问题练习(含解析)-人教版高三全册数学试题_第1页
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第十一讲定值问题一.定值问题,是指虽然圆锥曲线中的某些要素(通常可通过变量进行体现)有所变化,但在变化过程中,某个量的值保持不变即为定值.二、常见定值问题的处理方法:(1)确定一个(或两个)变量为核心变量,其余量均利用条件用核心变量进行表示(2)将所求表达式用核心变量进行表示(有的甚至就是核心变量),然后进行化简,看能否得到一个常数.三、定值问题的处理技巧:(1)对于较为复杂的问题,可先采用特殊位置(例如斜率不存在的直线等)求出定值,进而给后面一般情况的处理提供一个方向.(2)在运算过程中,尽量减少所求表达式中变量的个数,以便于向定值靠拢(3)巧妙利用变量间的关系,例如点的坐标符合曲线方程等,尽量做到整体代入,简化运算【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》,努力请从今日始考向一特殊探究,一般证明【例1】过抛物线y=ax2(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点,若线段PF与FQ的长分别是p、q,则+等于()A.2aB.C.4aD.【答案】C【解析】方法一:特殊探究,一般证明令过焦点F直线与x轴垂直,则直线的方程为,所以【套路秘籍】---千里之行始于足下PQMNFOyx图1方法二:直接推理求值如图所示:与抛物线联立∴,【举一反三】1.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=❑√22,且椭圆过点(❑√2,1).(1)求椭圆C的标准方程.(2)设直线l与C交于M,N两点,点D在C上,O是坐标原点,若⃑OM+⃑ON=⃑OD,判定四边形OMDN的面积是否为定值?若为定值,求出该定值;如果不是,请说明理由.【答案】(1)x24+y22=1(2)见解析【解析】(1)因为椭圆C的离心率e=❑√22,所以❑√a2−b2a=❑√22,即a2=2b2.因为点(❑√2,1)在椭圆C上,所以2a2+1b2=1.由¿,解得¿.所以椭圆C的标准方程为x24+y22=1.(2)当直线l的斜率不存在时,直线MN的方程为x=−1或x=1,此时四边形OMDN的面积为❑√6.当直线l的斜率存在时,设直线l的方程是y=kx+m,联立方程组¿,消去y,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2−4=0,Δ=8(4k2+2−m2)>0,x1+x2=−4km1+2k2,x1x2=2m2−41+2k2,y1+y2=k(x1+x2)+2m=2m1+2k2.|MN|=❑√1+k2×2❑√2❑√4k2+2−m21+2k2,点O到直线MN的距离是d=|m|❑√1+k2.由⃑OM+⃑ON=⃑OD,得xD=−4km1+2k2,yD=2m1+2k2.因为点D在曲线C上,所以有(−4km1+2k2)24+(2m1+2k2)22=1,整理得1+2k2=2m2.由题意,四边形OMDN为平行四边形,所以四边形OMDN的面积为SOMDN=|MN|d=❑√1+k22❑√2❑√4k2+2−m21+2k2×|m|❑√1+k2=2❑√2|m|❑√4k2+2−m21+2k2.由1+2k2=2m2,得SΔOMDN=❑√6,故四边形OMDN的面积是定值,其定值为❑√6.2.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F与抛物线y=4x的焦点重合,且椭圆的离心率为12.(1)求椭圆的标准方程;(2)过椭圆E右焦点F的直线l与椭圆交于两点A、B,在x轴上是否存在点M,使得⃑MA⋅⃑MB为定值?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)x24+y23=1(2)存在点M(118,0),使得⃑MA⋅⃑MB=−13564【解析】(Ⅰ) 抛物线y2=4x的焦点为(1,0),∴F(1,0),∴c=1,又因为椭圆的离心率为12,即ca=12,∴a=2,a2=4,则b2=a2−c2=3,因此,椭圆的方程为x24+y23=1;(Ⅱ)假设存在点M(x0,0),使得⃑MA⋅⃑MB为定值.当直线l的斜率不为零时,可设直线l的方程为x=my+1,联立¿,得(3m2+4)y2+6my−9=0,设A(x1,y1)、B(x2,y2),由韦达定理可得y1+y2=−6m3m2+4,y1y2=−93m2+4,⃑MA=(x1−x0,y1)、⃑MB=(x2−x0,y2),∴⃑MA⋅⃑MB=(x1−x0)(x2−x0)+y1y2=(m2+1)y1y2+(1−x0)m(y1+y2)+(1−x0)2¿−9(m2+1)3m2+4−6m⋅m(1−x0)3m2+4+(1−x0)2=(6x0−15)m2−93m2+4+(1−x0)2,要使上式为定值,即与m无关,应有6x0−153=−94,解得x0=118,此时,⃑MA⋅⃑MB=−13564.当直线l的斜率为零时,不妨设A(−2,0)、B(2,0),当点M的坐标为(118,0)时,⃑MA⋅⃑MB=−13564.综上所述,存在点M(118,0),使得⃑MA⋅⃑MB=−13564.考向二直接推理求值【例2】已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点(❑√3,12),且离心率为❑√32.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)已知A(0,b),B(a,0),点P是椭圆C上位于第三象限的动点,直线AP、BP分别将x轴、y轴...

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