课时作业(十三)空间向量与立体几何1.如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB＝2a，F为CD的中点．(1)求证：AF∥平面BCE；(2)判断平面BCE与平面CDE的位置关系，并证明你的结论．解析：建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则A(0,0,0)，C(2a,0,0)，B(0,0，a)，D(a，a，0)，E(a，a,2a)．因为F为CD的中点，所以F.(1)证明：AF＝，BE＝(a，a，a)，BC＝(2a,0，－a)．因为AF＝(BE＋BC)，AF⊄平面BCE，所以AF∥平面BCE.(2)平面BCE⊥平面CDE.证明如下：因为AF＝，CD＝(－a，a,0)，ED＝(0,0，－2a)，所以AF·CD＝0，AF·ED＝0，所以AF⊥CD，AF⊥ED.所以AF⊥平面CDE，又AF∥平面BCE，所以平面BCE⊥平面CDE.2.(2017·广西南宁、梧州摸底联考)如图，已知四棱锥P－ABCD，底面ABCD为菱形，且∠DAB＝60°，△PAB是边长为a的正三角形，且平面PAB⊥平面ABCD，已知点M是PD的中点．(1)证明：PB∥平面AMC；(2)求直线BD与平面AMC所成角的正弦值．解析：(1)证明：连接BD交AC于点O，连接OM，因为四边形ABCD为菱形，OB＝OD，又M为PD的中点，所以OM∥PB.由PB⊄平面AMC，OM⊂平面AMC，所以PB∥平面ACM.(2)取AB的中点N，连接PN，ND，则∠AND＝90°，分别以NB，ND，NP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系N－xyz，则B，C，A，D，P，M，则AC＝，AM＝.设平面AMC的法向量为n＝(x，y，z)，则令y＝，则x＝－1，z＝－，即n＝.又BD＝，设直线BD与n所成的角为θ，则cosθ＝＝，故直线BD与平面AMC所成角的正弦值为.3．(2017·河北石家庄模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为梯形，AD∥BC，CD⊥BC，AD＝2，AB＝BC＝3，PA＝4，M为AD的中点，N为PC上一点，且PC＝3PN.(1)求证：MN∥平面PAB；(2)求二面角PANM的余弦值．解析：(1)证明：在平面PBC内作NH∥BC交PB于点H，连接AH，在△PBC中，NH∥BC，且NH＝BC＝1，AM＝AD＝1. AD∥BC，∴NH∥AM，且NH＝AM，∴四边形AMNH为平行四边形，∴MN∥AH. AH⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，∴MN∥平面PAB.(2)解：在平面ABCD内作AE∥CD交BC于E，则AE⊥AD.分别以AE，AD，AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系A－xyz，则P(0,0,4)，M(0,1,0)，C(2，2,0)，N.设平面AMN的法向量m＝(x，y，z)，AM＝(0,1,0)，AN＝，则取m＝.设平面PAN的法向量n＝(x，y，z)，AP＝(0,0,4)，AN＝，则取n＝(1，－，0)，则cos〈m，n〉＝＝.故二面角PANM的余弦值为.4．(2017·山东卷)如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是的中点．(1)设P是上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；(2)当AB＝3，AD＝2时，求二面角EAGC的大小．解析：(1)因为AP⊥BE，AB⊥BE，AB，AP⊂平面ABP，AB∩AP＝A，所以BE⊥平面ABP.又BP⊂平面ABP，所以BE⊥BP.又∠EBC＝120°，所以∠CBP＝30°.(2)如图，取的中点H，连接EH，GH，CH.因为∠EBC＝120°，所以四边形BEHC为菱形，所以AE＝GE＝AC＝GC＝＝.取AG的中点M，连接EM，CM，EC，则EM⊥AG，CM⊥AG，所以∠EMC为所求二面角的平面角．又AM＝1，所以EM＝CM＝＝2.在△BEC中，由于∠EBC＝120°，由余弦定理得EC2＝22＋22－2×2×2×cos120°＝12，所以EC＝2，所以△EMC为等边三角形，故所求的角为60°.以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系B－xyz.由题意得A(0,0,3)，E(2,0,0)，G(1，，3)，C(－1，，0)，故AE＝(2,0，－3)，AG＝(1，，0)，CG＝(2,0,3)．设m＝(x1，y1，z1)是平面AEG的一个法向量，由可得取z1＝2，可得平面AEG的一个法向量m＝(3，－，2)．设n＝(x2，y2，z2)是平面ACG的一个法向量．由可得取z2＝－2，可得平面ACG的一个法向量n＝(3，－，－2)．所以cos〈m，n〉＝＝.故所求的角为60°.5．(2017·天津卷)如图，在三棱锥PABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA＝AC＝4，AB＝2.(1)求证：MN∥平面BDE；(2)求二面角CEMN的正弦值；(3)已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长．解析：如图，以A为原点，分别以AB，AC，AP方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直...
