高考数学复习点拨 例谈反证法在解题中的应用VIP免费

例谈反证法在解题中的应用反证法是一种间接证法.它是数学学习中一种很重要的证题方法.反证法证题的步骤大致分为三步：（1）反设：作出与求证的结论相反的假设；（2）归谬：由反设出发，导出矛盾结果；（3）作出结论：证明了反设不能成立，从而证明了所求证的结论成立.其中，导出矛盾是关键，通常有以下几种途径：与已知矛盾，与公理、定理矛盾，与假设矛盾，自相矛盾等.一、证明“至多”或“至少”问题例１已知函数()fx对其定义域内的任意两个实数ab，，当ab时，都有()()fafb．求证：至多有一个实数x使得()0fx．证明：假设存在两个不等实数12xx，，使得12()()0fxfx．()不妨设12xx，由条件可知12()()fxfx，与()式矛盾．故至多有一个实数x使得()0fx．二、证明“不可能”问题例2给定实数0aa，，且1a，设函数11()1xyxxaxaR，且，求证：经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x轴．证明：假设函数图象上存在两点12MM，，使得直线12MM平行于x轴．设111222()()MxyMxy，，，且12xx．由120MMk，得212121212121111110(1)(1)xxyyaxaxaxxxxaxax，解得1a．与已知1a矛盾．故经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x轴.例3双曲线1xy的两支为12CC，，正三角形PQR的三顶点位于此双曲线上．求证：PQR，，不可能在双曲线的同一支上．证明：假设正三角形的三顶点PQR，，位于双曲线同一支如1C上，其坐标分别为112233()()()xyxyxy，，，，，，不妨设1230xxx，则一定有1230yyy．于是222PQQRPR222222122313122313[()()()][()()()]xxxxxxyyyyyy212321232()()2()()0xxxxyyyy．因此，222PQQRPR．这说明PQR△是钝角三角形，与PQR△为正三角形矛盾．故PQR，，不可能在双曲线的同一支上．三、证明“存在性”或“唯一性”问题例4已知函数2()fxaxbxc的图象过点(10)，．问是否存在常数abc，，，使不等式21()(1)2xfxx≤≤对一切实数x都成立？若存在，求出abc，，的值；若不存在，说明理用心爱心专心由．解：假设存在符合条件的abc，，．()fx∵的图象过(10)，，(1)0f∴，即0abc．又21()(1)2xfxx∵≤≤对一切实数都成立，令1x，则211(11)12abc≤≤．1abc∴，12b∴，12ac．211()22fxaxa∴．由2()1()(1)2fxxfxx，，≥≤得221102211022axxaaxxa，①．②≥≤据题意，对于任意实数x，①与②都成立．对于①，若0a，则1x≤，不合题意；若0a，欲使①的解集为R，则需00a，，≤即0114042aaa，．≤解得14a．对于14a，再考虑②，把14a代入②，得2210xx≥，其解集为R．所以，存在满足条件的abc，，，其中1142acb，．用心爱心专心