专题2.8一题多解玩透基本不等式一、典例分析，融合贯通典例1已知正数a,b满足，求的取值范围。【解法2】综合法由得.又，所以，即，所以，即的取值范围是【点睛之笔】综合法，尽显智者风采！【解法3】代换法由得，，当且仅当，即时取等号，所以的取值范围是【点睛之笔】代换法，变换无穷，精彩无限！【解法4】换元法由得（1）设，则，代入（1）式得整理得，又由得，即方程在上有解，令，则解得，所以的取值范围是【点睛之笔】换元法，越换越圆满！【解后反思】解法一：二元转化为一元，即利用将中的b用a表示，然后用基本不等式求范围；解法二：对变形，获得与ab的关系，然后利用解不等式消去ab建立的不等式求解.；解法三：妙用“”的代换，再利用基本不等式求解；解法四：利用换元法建立二次函数，再利用二次函数图像与性质求解.典例2已知直线过点P(3,2),且与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,求△ABO的面积的最小值及此时直线的方程.【点睛之笔】截距式，半路打劫！【解法3】代换法由题可设直线方程为,代入,得则由得,从而，当且仅当时,等号成立，的面积取最小值此时，∴此时直线的方程为.【点睛之笔】代换法，召唤解法机械兽！【解后反思】解法一：利用截距式求得定值，再利用基本不等式求得最值；解法二：利用点斜式求得定值，再利用基本不等式求得最值；解法三：利用截距式求得定值，再利用代换法，结合基本不等式求得最值；典例3过点P(2,1)的直线交x轴、y轴正半轴于A、B两点，求使：(1)△AOB面积最小时直线的方程；(2)|PA|·|PB|最小时直线的方程．(1)【解法1】截距式设所求的直线方程为，由已知得，于是.当且仅当，即时，取最大值，此时取最小值.故所求直线方程为，即。【点睛之笔】截距式，截出美好灵感！二、精选试题，能力升级1.已知a＞0,b＞0,则a+2b的最小值为()(A)(B)(C)(D)14【解析】选A.∴a+2b的最小值为2.若-4＜x＜1，则()(A)有最小值1(B)有最大值1(C)有最小值-1(D)有最大值-13.已知点P(x，y)在直线x+y-4=0上，则2x+2y的最小值为_________.【解析】∵点P(x,y)在直线x+y-4=0上，∴x+y=4(当且仅当x=y=2时等号成立).4.已知0＜x＜1，则的最大值为_________.【解析】∵0＜x＜1，∴lgx＜0，-lgx＞0.即y≤-4.当且仅当时等号成立，故ymax=-4.5.已知函数(1)求的取值范围；(2)当x为何值时，y取何最大值？【解析】(1)设x+2=t,x=t-2,t＞0(∵x＞-2),则∴所求范围为(2)欲使y最大，必最小，此时∴当时，y取最大值为6.已知a>0,b>0，a+b=2,则的最小值是()(A)(B)4(C)(D)5【解析】选C.由已知可得≥，当且仅当时取等号，即的最小值是.7.若a>0,b>0,且a+b=1，则ab+的最小值为()(A)2(B)4(C)(D)8.已知f(x)=log2(x-2)，若实数m,n满足f(m)+f(2n)=3，则m+n的最小值为()(A)5(B)7(C)8(D)9【解析】选B.由已知得log2(m-2)+log2(2n-2)=3，即log2［(m-2)(2n-2)］=3，因此于是所以当且仅当即m=4时等号成立，此时m+n取最小值7.9.已知b＞0，直线x-b2y-1=0与直线(b2+1)x+ay+2=0互相垂直，则ab的最小值等于()(A)1(B)2(C)(D)【解析】选B.∵直线x-b2y-1=0与直线(b2+1)x+ay+2=0互相垂直，∴(b2+1)-b2a=0，即∴(当且仅当b=1时取等号)，即ab的最小值等于2.10．函数y＝loga(x＋3)－1(a＞0，a≠1)的图像恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn＞0，则＋的最小值为__________．
