第3讲导数的简单应用一、选择题1．函数f(x)＝x2－lnx的最小值为()A.B．1C．0D．不存在解析：选A.因为f′(x)＝x－＝，且x>0.令f′(x)>0，得x>1；令f′(x)<0，得00，解得x<－或x>，即f(x)的单调递增区间为(－∞，－)，(，＋∞)．因为b∈(1，4)，所以(－∞，－2)符合题意．5．已知函数f(x)＝ex－x2－mx有极值点，则实数m的取值范围是()A．m≥1B．m>1C．0≤m≤1D．00时，g′(x)>0，所以函数g(x)＝ex－x在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，所以函数g(x)＝ex－x的极小值点为0，所以g(0)＝1为g(x)＝ex－x的最小值，所以实数m的取值范围是m>1，故选B.6．已知f(x)＝lnx－＋，g(x)＝－x2－2ax＋4，若对任意的x1∈(0，2]，存在x2∈[1，2]，使得f(x1)≥g(x2)成立，则a的取值范围是()A.B.C.D.解析：选A.因为f′(x)＝－－＝＝－，易知，当x∈(0，1)时，f′(x)<0，当x∈(1，2]时，f′(x)>0，所以f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，2]上单调递增，故f(x)min＝f(1)＝.对于二次函数g(x)＝－x2－2ax＋4，易知该函数开口向下，所以g(x)在区间[1，2]上的最小值在端点处取得，即g(x)min＝min{g(1)，g(2)}．要使对任意的x1∈(0，2]，存在x2∈[1，2]，使得f(x1)≥g(x2)成立，只需f(x1)min≥g(x2)min，即≥g(1)且≥g(2)，所以≥－1－2a＋4且≥－4－4a＋4，解得a≥.二、填空题7.dx＝________．解析：dx＝＝＋1－＝.答案：8．(2018·高考全国卷Ⅲ)曲线y＝(ax＋1)ex在点(0，1)处的切线的斜率为－2，则a＝________.解析：y′＝(ax＋1＋a)ex，由曲线在点(0，1)处的切线的斜率为－2，得y′|x＝0＝(ax＋1＋a)ex|x＝0＝1＋a＝－2，所以a＝－3.答案：－39．已知函数f(x)＝－x2＋2lnx，g(x)＝x＋，若函数f(x)与g(x)有相同的极值点，则实数a的值为________．解析：因为f(x)＝－x2＋2lnx，所以f′(x)＝－2x＋＝－(x>0)，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1(舍去)，又当00；当x>1时，f′(x)<0，所以x＝1是函数f(x)的极值点．因为g(x)＝x＋，所以g′(x)＝1－.又函数f(x)与g(x)＝x＋有相同极值点，所以x＝1也是函数g(x)的极值点，所以g′(1)＝1－a＝0，解得a＝1.经检验，当a＝1时，函数g(x)取到极小值．答案：1三、解答题10．已知函数f(x)＝ax3＋x2(a∈R)在x＝－处取得极值．(1)确定a的值；(2)若g(x)＝f(x)ex，讨论g(x)的单调性．解：(1)对f(x)求导得f′(x)＝3ax2＋2x，因为f(x)在x＝－处取得极值，所以f′＝0，即3a×＋2×＝－＝0，解得a＝.(2)由(1)得g(x)＝ex，故g′(x)＝ex＋ex＝ex＝x(x＋1)(x＋4)ex，令g′(x)＝0，解得x＝0或x＝－1或x＝－4.当x<－4时，g′(x)<0，故g(x)为减函数；当－40，故g(x)为增函数；当－10时，g′(x)>0，故g(x)为增函数．综上知，g(x)在(－∞，－4)和(－1，0)上为减函数，在(－4，－1)和(0，＋∞)上为增函数．11．已知函数f(x)＝－1.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)设m>0，...
