【高考领航】2016届高考数学二轮复习限时训练21直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题理(建议用时45分钟)1．(2015·高考重庆卷)如图，椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1.(1)若|PF1|＝2＋，|PF2|＝2－，求椭圆的标准方程；(2)若|PF1|＝|PQ|，求椭圆的离心率e.解：(1)由椭圆的定义，2a＝|PF1|＋|PF2|＝(2＋)＋(2－)＝4，故a＝2.设椭圆的半焦距为c，由已知PF1⊥PF2，因此2c＝|F1F2|＝＝＝2.即c＝，从而b＝＝1，故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.(2)方法一：连接F1Q，如图，设点P(x0，y0)在椭圆上，且PF1⊥PF2，则＋＝1，x＋y＝c2，求得x0＝±，y0＝±.由|PF1|＝|PQ|>|PF2|得x0>0，从而|PF1|2＝(＋c)2＋＝2(a2－b2)＋2a＝(a＋)2.由椭圆的定义，|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a.从而由|PF1|＝|PQ|＝|PF2|＋|QF2|，有|QF1|＝4a－2|PF1|，又由PF1⊥PF2，|PF1|＝|PQ|，知|QF1|＝|PF1|，因此(2＋)|PF1|＝4a，即(2＋)(a＋)＝4a，于是(2＋)(1＋)＝4，解得e＝＝－.方法二：如图，由椭圆的定义，|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a，从而由|PF1|＝|PQ|＝|PF2|＋|QF2|，有|QF1|＝4a－2|PF1|.又由PF1⊥PQ，|PF1|＝|PQ|，知|QF1|＝|PF1|，因此，4a－2|PF1|＝|PF1|，则|PF1|＝2(2－)a，从而|PF2|＝2a－|PF1|＝2a－2(2－)a＝2(－1)a.由PF1⊥PF2，知|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2，因此e＝＝＝＝＝－.2．(2016·石家庄市模拟)在平面直角坐标系xOy中，一动圆经过点且与直线x＝－相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)设P是曲线E上的动点，点B、C在y轴上，△PBC的内切圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，求△PBC面积的最小值．解：(1)由题意可知圆心到的距离等于到直线x＝－的距离，由抛物线的定义可知，曲线E的方程为y2＝2x.(2)法一：设P(x0，y0)，B(0，b)，C(0，c)，直线PB的方程为：(y0－b)x－x0y＋x0b＝0，又圆心(1,0)到PB的距离为1，所以＝1，整理得：(x0－2)b2＋2y0b－x0＝0，同理可得：(x0－2)c2＋2y0c－x0＝0，所以b，c是方程(x0－2)x2＋2y0x－x0＝0的两根，所以b＋c＝，bc＝，依题意bc<0，即x0>2，则(b－c)2＝，因为y＝2x0，所以|b－c|＝，所以S＝|b－c|x0＝(x0－2)＋＋4≥8，当x0＝4时上式取得等号，所以△PBC面积的最小值为8.法二：设P(x0，y0)，直线PB：y－y0＝k(x－x0)，由题知PB与圆(x－1)2＋y2＝1相切，则＝1，整理得：(x－2x0)k2＋2(1－x0)y0k＋y－1＝0，k1＋k2＝－，k1k2＝，依题意x0>2，则|yB－yC|＝|(y0－k1x0)－(y)－k2x0|＝|k1－k2|x0，又|k1－k2|＝，则|yB－yC|＝，所以S＝|yB－yC||x0|＝(x0－2)＋＋4≥8，当且仅当x0＝4时上式取得等号，所以△PBC面积的最小值为8.3．(2016·长春市高三模拟)在△ABC中，顶点B(－1,0)，C(1,0)，G，I分别是△ABC的重心和内心，且IG∥BC.(1)求顶点A的轨迹M的方程；(2)过点C的直线交曲线M于P，Q两点，H是直线x＝4上一点，设直线CH，PH，QH的斜率分别为k1，k2，k3，试比较2k1与k2＋k3的大小，并加以证明．解：(1)由题意知S△ABC＝(|AB|＋|AC|＋|BC|)·r＝|BC|·|yA|，且|BC|＝2，|yA|＝3r，其中r为内切圆半径，化简得：|AB|＋|AC|＝4，顶点A的轨迹是以B，C为焦点，4为长轴长的椭圆(去掉长轴端点)，其中a＝2，c＝1，b＝，所以轨迹M的方程为＋＝1(y≠0)．(2)2k1＝k2＋k3，以下进行证明：当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ：y＝k(x－1)且P(x1，y1)，Q(x2，y2)，H(4，m)，联立可得x1＋x2＝，x1x2＝.由题意：k1＝，k2＝，k3＝.k2＋k3＝＝＝＝＝2k1.当直线PQ的斜率不存在时，不妨取P，Q，则k2＋k3＝＋＝＝2k1.综上可得2k1＝k2＋k3.4．(2016·洛阳市高三模拟)设M是焦距为2的椭圆E：＋＝1(a>b>0)上一点，A，B是其左、右顶点，直线MA与MB的斜率分别为k1，k2，且k1k2＝－.(1)求椭圆E的方程；(2)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)上点N(x0，y0)处切线方程为＋＝1，若与椭圆E相切于C(x1，y1)，D(x2，y2)两点的切线相交于P点，且PC·PD＝0.求证：点P到原点的距离为定值．(1)解：由题意，2c＝2，c＝1，A(－a,0)，B(a,0)，设M(x，y)，∵k1k2＝－，∴·＝－，即＝－.∵M(x，y)在椭圆上，∴＋＝1.∴＝－，∴＝，∴a2＝2b2.又a2－b2＝c2＝1，∴a2＝2，b2＝1.∴椭圆E的方程为＋y2＝1.(2)证明：依题意，切线PC，PD的方程分别为＋y1y＝1，＋y2y＝1，即x1x＋2y1y＝2，x2x＋2y2y＝2.由，得P，∵PC·PD＝0，∴PC⊥PD，∴＝－1，即x1x2＝－4y1y2.∵C，D在椭圆E上，∴x＋2y＝2，x＋2y＝2.∴x＝2－2y，x＝2－2y.∴|PO|2＝＝＝.∵x1x2＝－4y1y2，∴xx＝16yy.即(2－2y)(2－2y)＝16yy，(1－y)(1－y)＝4yy，得yy＝.∴|OP|2＝＝＝3.∴|PO|＝，∴P到原点的距离为定值.
