高考数学一轮总复习 第6章 不等式、推理与证明 6.7 数学归纳法模拟演练 理-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

2018版高考数学一轮总复习第6章不等式、推理与证明6.7数学归纳法模拟演练理[A级基础达标](时间：40分钟)1．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋>(n∈N*)成立，其初始值至少应取()A．7B．8C．9D．10答案B解析左边＝1＋＋＋…＋＝＝2－，代入验证可知n的最小值是8.故选B.2．一个关于自然数n的命题，如果验证当n＝1时命题成立，并在假设当n＝k(k≥1且k∈N*)时命题成立的基础上，证明了当n＝k＋2时命题成立，那么综合上述，对于()A．一切正整数命题成立B．一切正奇数命题成立C．一切正偶数命题成立D．以上都不对答案B解析本题证的是对n＝1,3,5,7，…命题成立，即命题对一切正奇数成立．3．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝时，由n＝k的假设到证明n＝k＋1时，等式左边应添加的式子是()A．(k＋1)2＋2k2B．(k＋1)2＋k2C．(k＋1)2D.(k＋1)[2(k＋1)2＋1]答案B解析由n＝k到n＝k＋1时，左边增加(k＋1)2＋k2，故选B.4．[2017·陕西模拟]用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·2…(2n－1)”(n∈N＋)时，从“n＝k到n＝k＋1”时，左边的式子之比是()A.B.C.D.答案D解析当n＝k时，左边为(k＋1)(k＋2)…2k，当n＝k＋1时，左边为(k＋2)(k＋3)…2k(2k＋1)(2k＋2)，所以从“n＝k到n＝k＋1”时，左边的式子之比是＝＝，选D.5．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋2n＝2n－1＋22n－1(n∈N＋)时，假设n＝k时命题成立，则当n＝k＋1时，左端增加的项数是()A．1项B．k－1项C．k项D．2k项答案D解析运用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋2n＝2n－1＋22n－1(n∈N＋)．当n＝k时，则有1＋2＋3＋…＋2k＝2k－1＋22k－1(k∈N＋)，左边表示的为2k项的和．当n＝k＋1时，则左边＝1＋2＋3＋…＋2k＋(2k＋1)＋…＋2k＋1，表示的为2k＋1项的和，增加了2k＋1－2k＝2k项．6．[2017·郑州模拟]用数学归纳法证明不等式＋＋…＋>的过程中，由n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是________．答案解析不等式的左边增加的式子是＋－＝，故填.7．用数学归纳法证明：(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(n＋n)＝(n∈N*)的第三步中，当n＝k＋1时等式左边与n＝k时的等式左边的差等于________．答案3k＋2解析n＝k＋1比n＝k时左边变化的项为(2k＋1)＋(2k＋2)－(k＋1)＝3k＋2.8．设数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的自然数n都有(Sn－1)2＝anSn，通过计算S1，S2，S3，猜想Sn＝________________________________________________________________________.答案解析由(S1－1)2＝S，得S1＝；由(S2－1)2＝(S2－S1)S2，得S2＝；由(S3－1)2＝(S3－S2)S3，得S3＝.猜想Sn＝.9．用数学归纳法证明：(3n＋1)·7n－1(n∈N*)能被9整除．证明①当n＝1时，(3×1＋1)×7－1＝27能被9整除，命题成立；②假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时命题成立，即(3k＋1)·7k－1能被9整除，则当n＝k＋1时，[3(k＋1)＋1]·7k＋1－1＝(3k＋1)·7k＋1－1＋3·7k＋1＝(3k＋1)·7k－1＋6(3k＋1)·7k＋3·7k＋1＝(3k＋1)·7k－1＋9·(2k＋3)·7k.由于(3k＋1)·7k－1和9·(2k＋3)·7k都能被9整除，所以(3k＋1)·7k－1＋9·(2k＋3)·7k能被9整除，即当n＝k＋1时，命题也成立，故(3n＋1)·7n－1(n∈N*)能被9整除．10．[2017·南宁质检]用数学归纳法证明不等式：··…·＞.证明①当n＝1时，左式＝，右式＝，左式＞右式，所以结论成立．②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时结论成立，即··…·＞，则当n＝k＋1时，··…··＞·＝，要证当n＝k＋1时结论成立，只需证≥，即证≥，由基本不等式＝≥成立，故≥成立．所以，当n＝k＋1时，结论成立．由①②可知n∈N*时，不等式··…·＞成立．[B级知能提升](时间：20分钟)11．平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为()A．n＋1B．2nC.D．n2＋n＋1答案C解析1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；…；n条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋＝个区域．12．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开()A．(k＋3)3B．(k＋2)3C．(k＋1)3D．(k＋1)3...