圆锥曲线之一直线过定点如图,已知抛物线,其焦点到准线的距离为2,圆,直线与圆和抛物线自左至右顺次交于四点、、、,(1)若线段、、的长按此顺序构成一个等差数列,求正数的值;(2)若直线过抛物线焦点且垂直于直线,直线与抛物线交于点、,设、的中点分别为、,求证:直线过定点.ABCDxyOPQMN【答案】(1);(2).【解析】(1)由题意可得,所以,圆的半径为1,设,,由得,,,,.(2),,,当时,直线与抛物线没有交点,所以,用替换可得,,一、(2018湖北省黄冈、黄石等八市高三3月联考试题)所以的直线方程为,化简得,所以直线过定点.已知、为椭圆的左、右顶点,,且离心率为.(1)求椭圆的方程;(2)若点为直线上任意一点,,交椭圆于,两点,试问直线是否恒过定点,若过定点,求出该定点;若不过定点,请说明理由.【答案】(1);(2)答案见解析.【解析】(1)依题意,则,又,.椭圆方程为:.(2)设,(不妨设),,,则直线方程:,直线方程:.设,,由得,则,则,于是.由,得,则,则,于是,,,二、(2018湖北省武汉市高三毕业生2月份调研考试).直线方程为:.令得,故直线过点.已知抛物线()的焦点是椭圆:()的右焦点,且两曲线有公共点.(1)求椭圆的方程;(2)椭圆的左、右顶点分别为,,若过点且斜率不为零的直线与椭圆交于,两点,已知直线与相较于点,试判断点是否在一定直线上?若在,请求出定直线的方程;若不在,请说明理由.【答案】(1);(2)点在定直线上.【解析】(1)将代入抛物线得,∴抛物线的焦点为,则椭圆中,三、(2018山西省晋中高三1月适应性调研考试)又点在椭圆上,∴,解得,,椭圆的方程为.(2)由条件可得直线的斜率存在,设直线联立方程,消得:有两个不等的实根,,,设,,,则,,,由,,三点共线,有:,由,,三点共线,有:,上两式相比得,解得,∴点在定直线上.