第3讲函数的奇偶性与周期性一、选择题1．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是()A．y＝B．y＝|x|－1C．y＝lgxD．y＝解析：选B.y＝为奇函数；y＝lgx的定义域为(0，＋∞)，不具备奇偶性；y＝在(0，＋∞)上为减函数；y＝|x|－1在(0，＋∞)上为增函数，且在定义域上为偶函数．2．(2017·高考北京卷)已知函数f(x)＝3x－，则f(x)()A．是偶函数，且在R上是增函数B．是奇函数，且在R上是增函数C．是偶函数，且在R上是减函数D．是奇函数，且在R上是减函数解析：选B.由f(－x)＝()x－3x＝－f(x)，知f(x)为奇函数，因为y＝()x在R上是减函数，所以y＝－()x在R上是增函数，又y＝3x在R上是增函数，所以函数f(x)＝3x－()x在R上是增函数，故选B.3．若函数f(x)＝ln(ax＋)是奇函数，则a的值为()A．1B．－1C．±1D．0解析：选C.因为f(x)＝ln(ax＋)是奇函数，所以f(－x)＋f(x)＝0.即ln(－ax＋)＋ln(ax＋)＝0恒成立，所以ln[(1－a2)x2＋1]＝0，即(1－a2)x2＝0恒成立，所以1－a2＝0，即a＝±1.4．(2018·成都第一次诊断)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)，且当x∈时，f(x)＝－x3，则f＝()A．－B.C．－D.解析：选B.由f(x＋3)＝f(x)知函数f(x)的周期为3，又函数f(x)为奇函数，所以f＝f＝－f＝＝.5．设f(x)是定义在实数集上的函数，且f(2－x)＝f(x)，若当x≥1时，f(x)＝lnx，则有()A．f0的x的集合为________．解析：由奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上递增，且f＝0，得函数y＝f(x)在(－∞，0)上递增，且f＝0，所以f(x)>0时，x>或－0的x的集合为.答案：8．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)－g(x)＝，则f(1)，g(0)，g(－1)之间的大小关系是________．解析：在f(x)－g(x)＝中，用－x替换x，得f(－x)－g(－x)＝2x，由于f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，因此得－f(x)－g(x)＝2x.联立方程组解得f(x)＝，g(x)＝－，于是f(1)＝－，g(0)＝－1，g(－1)＝－，故f(1)>g(0)>g(－1)．答案：f(1)>g(0)>g(－1)19．已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x>时，f＝f.则f(6)＝________.解析：当x>0时，x＋>，所以f＝f，即f(x＋1)＝f(x)，所以f(6)＝f(5)＝f(4)＝…＝f(1)＝－f(－1)＝2.答案：210．已知函数f(x)＝asinx＋b＋4，若f(lg3)＝3，则f＝________.解析：由f(lg3)＝asin(lg3)＋b＋4＝3得asin(lg3)＋b＝－1，而f＝f(－lg3)＝－asin(lg3)－b＋4＝－[asin(lg3)＋b]＋4＝1＋4＝5.答案：5三、解答题11．设f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝.(1)求当x<0时，f(x)的解析式；(2)解不等式f(x)<－.解：(1)因为f(x)是奇函数，所以当x<0时，f(x)＝－f(－x)，－x>0，又因为当x>0时，f(x)＝，所以当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－＝.(2)f(x)<－，当x>0时，即<－，所以<－，所以>，所以3x－1<8，解得x<2，所以x∈(0，2)．当x<0时，即<－，所以>－，所以3－x>32，所以x<－2，所以解集是(－∞，－2)∪(0，2)．12．已知函数f(x)＝是奇函数．(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．解：(1)设x＜0，则－x＞0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，于是x＜0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.(2)由(1)知f(x)在[－1，1]上是增函数，要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增．结合f(x)的图象知所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1，3]．2
