高考数学 圆锥曲线-双曲线题型总结VIP免费

二、双曲线1、（21）（本小题满分14分）08天津已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是0,31F，一条渐近线的方程是025yx.（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）若以0kk为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M，N，线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为281，求k的取值范围.（21）本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理运算能力．满分14分．（Ⅰ）解：设双曲线C的方程为22221xyab（0,0ab）．由题设得22952abba，解得2245ab，所以双曲线方程为22145xy．（Ⅱ）解：设直线l的方程为ykxm（0k）．点11(,)Mxy，22(,)Nxy的坐标满足方程组22145ykxmxy将①式代入②式，得22()145xkxm，整理得222(54)84200kxkmxm．此方程有两个一等实根，于是2504k，且222(8)4(54)(420)0kmkm．整理得22540mk．③由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标00(,)xy满足12024254xxkmxk，002554mykxmk．从而线段MN的垂直平分线方程为22514()5454mkmyxkkk．此直线与x轴，y轴的交点坐标分别为29(,0)54kmk，29(0,)54mk．由题设可得2219981||||254542kmmkk．整理得222(54)||kmk，0k．1将上式代入③式得222(54)540||kkk，整理得22(45)(4||5)0kkk，0k．解得50||2k或5||4k．所以k的取值范围是5555,)(,0)(0,)(,)4224(2、（2008上海理18）已知双曲线22:14xCy，P为C上的任意点。（1）求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；（2）设点A的坐标为(3,0)，求||PA的最小值；解；（1）设11(,)Pxy是双曲线上任意一点，该双曲的两条渐近线方程分别是20xy和20xy.点11(,)Pxy到两条渐近线的距离分别是11|2|5xy和11|2|5xy，它们的乘积是11|2|5xy221111|2||4|4555xyxy.点P到双曲线的两条渐线的距离的乘积是一常数.（2）设的坐标为(,)xy，则222||(3)PAxy22(3)14xx25124()455x||2x，当125x时，2||PA的最小值为45，即||PA的最小值为255.3、（2007湖南理20）已知双曲线222xy的左、右焦点分别为1F，2F，过点2F的动直线与双曲线相交于AB，两点.（I）若动点M满足1111FMFAFBFO�（其中O为坐标原点），求点M的轨迹方程；（II）在x轴上是否存在定点C，使CA�·CB�为常数？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.解：由条件知1(20)F，，2(20)F，，设11()Axy，，22()Bxy，.解法一：（I）设()Mxy，，则则1(2)FMxy�，，111(2)FAxy�，，21221(2)(20)FBxyFO�，，，，由1111FMFAFBFO�得121226xxxyyy，即12124xxxyyy，于是AB的中点坐标为422xy，.当AB不与x轴垂直时，121224822yyyyxxxx，即1212()8yyyxxx.又因为AB，两点在双曲线上，所以22112xy，22222xy，两式相减得12121212()()()()xxxxyyyy，即1212()(4)()xxxyyy.将1212()8yyyxxx代入上式，化简得22(6)4xy.当AB与x轴垂直时，122xx，求得(80)M，，也满足上述方程.所以点M的轨迹方程是22(6)4xy.（II）假设在x轴上存在定点(0)Cm，，使CACB�为常数.当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是(2)(1)ykxk.代入222xy有2222(1)4(42)0kxkxk.则12xx，是上述方程的两个实根，所以212241kxxk，2122421kxxk，于是22221212(1)(2)()4kxxkmxxkm22222222(1)(42)4(2)411kkkkmkmkk222222(12)2442(12)11mkmmmmkk.3因为是与k无关的常数，所以440m，即1m，此时=1.当AB与x轴垂直时，点AB，的坐标可分别设为(22)，，(22)，，此时.故在x轴上存在定点(10)C，，使为常数.解法二：（I）同解法一的（I）有12124xxxyyy...