高考数学 专题37 直线与圆、圆与圆的位置关系热点题型和提分秘籍 理-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

专题37直线与圆、圆与圆的位置关系1．能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断圆与圆的位置关系。2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。3．初步了解用代数方法处理几何问题的思想。热点题型一直线与圆的位置关系例1、(1)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是()A．相切B．相交C．相离D．不确定(2)直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－1＝0有两个不同交点的一个充分不必要条件是()A．－3＜m＜1B．－4＜m＜2C．0＜m＜1D．m＜1解析：(1)由点M在圆外，得a2＋b2＞1，∴圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝＜1，则直线与圆O相交。【提分秘籍】判断直线与圆的位置关系常见的方法(1)几何法：利用d与r的关系。(2)代数法：联立方程随之后利用Δ判断。(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交。上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题。【举一反三】若圆x2＋y2＝r2(r＞0)上仅有4个点到直线x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围为()A．(＋1，＋∞)B．(－1，＋1)C．(0,－1)D．(0，＋1)解析：计算得圆心到直线l的距离为＝＞1，如图。直线l：x－y－2＝0与圆相交，l1，l2与l平行，且与直线l的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l2的距离＋1。答案：A热点题型二圆的切线与弦长问题例2、(1)过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为()A．2x＋y－3＝0B．2x－y－3＝0C．4x－y－3＝0D．4x＋y－3＝0(2)过点(3,1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为__________。【提分秘籍】圆的切线与弦长问题的解题策略(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长一半、弦心距、半径构成直角三角形。(2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径建立关系解决问题。【举一反三】直线y＝kx＋3与圆(x－2)2＋(y－3)2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是()A.B.C．[－，]D.解析：如图，若|MN|＝2，则由圆与直线的位置关系可知圆心到直线的距离满足d2＝22－()2＝1。 直线方程为y＝kx＋3，∴d＝＝1，解得k＝±。若|MN|≥2，则－≤k≤。热点题型三圆与圆的位置关系例3．已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0。(1)m取何值时两圆外切？(2)m取何值时两圆内切？(3)求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长。解析：两圆的标准方程为：(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，圆心分别为M(1,3)，N(5,6)，半径分别为和。(1)当两圆外切时，＝＋，解得m＝25＋10。(2)当两圆内切时，因定圆的半径小于两圆圆心间距离5，故只有－＝5，解得m＝25－10。(3)两圆的公共弦所在直线方程为(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，即4x＋3y－23＝0，∴公共弦长为2＝2。【提分秘籍】圆与圆的位置关系的求解策略(1)判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法。(2)当两圆相交时求其公共弦所在的直线方程是公共弦长，只要把两圆方程相减消掉二次项所得方程就是公共弦所在的直线方程，再根据其中一个圆和这条直线就可以求出公共弦长。【举一反三】若圆(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1始终平分圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的周长，则a，b满足的关系是()A．a2＋2a＋2b－3＝0B．a2＋b2＋2a＋2b＋5＝0C．a2＋2a＋2b＋5＝0D．a2－2a－2b＋5＝0解析：两圆的公共弦必过(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的圆心，两圆相减得相交弦的方程为－2(a＋1)x－2(b＋1)y＋a2＋1＝0，将圆心坐标(－1，－1)代入可得a2＋2a＋2b＋5＝0，故选C。答案：C1.【2017课标II，理9】若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为（）A．2B．C．D．【答案】A1.【2016高考新课标2理数】圆的圆心到直线的距离为1，则a=（）（A）（B）（C）（D）2【答案】A【解析】圆的方程可化为，所以圆心坐标为，由点到直线的距离公式得：，解得，故选A．2.【2016高考新课标1卷】（本小题满分12分）设圆的圆心为A,直线l过点B（1,0）且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.（I）证...