考点规范练16导数的综合应用基础巩固1.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-与x=1处都取得极值.(1)求a,b的值及函数f(x)的单调区间;(2)若对于x∈[-1,2],不等式f(x)
1时,g(x)>0;(3)确定a的所有可能取值,使得f(x)>g(x)在区间(1,+∞)内恒成立.13.(2017四川成都模拟)已知函数f(x)=(x-k)ex+k,k∈Z.(1)当k=0时,求函数f(x)的单调区间;(2)若当x∈(0,+∞)时,不等式f(x)+5>0恒成立,求k的最大值.4.(2017全国Ⅲ,文21)已知函数f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当a<0时,证明f(x)≤--2.2能力提升5.(2017全国Ⅱ,文21)设函数f(x)=(1-x2)ex.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当x≥0时,f(x)≤ax+1,求a的取值范围.36.设函数f(x)=x2+bx-alnx.(1)若x=2是函数f(x)的极值点,1和x0是函数f(x)的两个不同零点,且x0∈(n,n+1),n∈N,求n.(2)若对任意b∈[-2,-1],都存在x∈(1,e),使得f(x)<0成立,求实数a的取值范围.7.已知函数f(x)=-2(x+a)lnx+x2-2ax-2a2+a,其中a>0.(1)设g(x)是f(x)的导函数,讨论g(x)的单调性;(2)证明:存在a∈(0,1),使得f(x)≥0在区间(1,+∞)内恒成立,且f(x)=0在区间(1,+∞)内有唯一解.4高考预测8.已知函数f(x)=xlnx,g(x)=(-x2+ax-3)ex(a为实数).(1)当a=5时,求函数y=g(x)在x=1处的切线方程;(2)求f(x)在区间[t,t+2](t>0)上的最小值;(3)若方程g(x)=2exf(x)存在两个不等实根x1,x2,且x1,x2∈,求实数a的取值范围.答案：1.解:(1) f(x)=x3+ax2+bx+c,∴f'(x)=3x2+2ax+b.又f(x)在x=-与x=1处都取得极值,∴f'a+b=0,f'(1)=3+2a+b=0,两式联立解得a=-,b=-2,∴f(x)=x3-x2-2x+c,f'(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1),令f'(x)=0,得x1=-,x2=1,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x-1(1,+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗极大值↘极小值↗∴函数f(x)的递增区间为与(1,+∞);递减区间为.5(2)f(x)=x3-x2-2x+c,x∈[-1,2],当x=-时,f+c为极大值,而f(2)=2+c,则f(2)=2+c为最大值,要使f(x)f(2)=2+c,解得c<-1或c>2.∴c的取值范围为(-∞,-1)∪(2,+∞).2.(1)解:f'(x)=2ax-(x>0).当a≤0时,f'(x)<0,f(x)在(0,+∞)内单调递减.当a>0时,由f'(x)=0有x=.当x∈时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈时,f'(x)>0,f(x)单调递增.(2)证明:令s(x)=ex-1-x,则s'(x)=ex-1-1.当x>1时,s'(x)>0,所以ex-1>x,从而g(x)=>0.(3)解:由(2),当x>1时,g(x)>0.当a≤0,x>1时,f(x)=a(x2-1)-lnx<0.故当f(x)>g(x)在区间(1,+∞)内恒成立时,必有a>0.当01.由(1)有f0,所以此时f(x)>g(x)在区间(1,+∞)内不恒成立.当a≥时,令h(x)=f(x)-g(x)(x≥1).当x>1时,h'(x)=2ax--e1-x>x-=>0.因此,h(x)在区间(1,+∞)内单调递增.又因为h(1)=0,所以当x>1时,h(x)=f(x)-g(x)>0,即f(x)>g(x)恒成立.综上,a∈.3.解:(1)当k=0时,f(x)=x·ex,∴f'(x)=ex+xex=ex(x+1),∴当x∈(-∞,-1)时,f'(x)<0;当x∈(-1,+∞)时,f'(x)>0;∴f(x)在(-∞,-1)内是减函数,在(-1,+∞)内是增函数.(2)不等式f(x)+5>0恒成立⇔(x-k)ex+k+5>0在x∈(0,+∞)时恒成立,令F(x)=(x-k)ex+k+5,F'(x)=ex(x-k+1)(x∈R),当x∈(-∞,k-1)时,f'(x)<0;当x∈(k-1,+∞)时,f'(x)>0;∴f(x)在(-∞,k-1)内是减函数,在(k-1,+∞)内是增函数.①若k-1≤0,即k≤1,当x∈(0,+∞)时,F(x)>F(0)≥0.而F(0)=5>0恒成立,∴k≤1符合题意.②若k-1>0,即k>1,当x∈(0,+∞)时,只需F(x)min=F(k-1)=-ek-1+5+k>0即可.令h(k)=-ek-1+5+k,h'(k)=1-ek-1<0恒成立,即h(k)=-ek-1+5+k单调递减.6 h(2)=-e+7>0,h(3)=-e2+8>0,h(4)=-e3+9<0,∴10,故f(x)在(0,+∞)单调递增.若a<0,则当x∈时,f'(x)>0;当x∈时,f'(x)<0.故f(x)在区间内单调递增,在区间内单调递减.(2)证明:由(1)知,当a<0时,f(x)在x=-取得最大值,最大值为f=ln-1-.所以f(x)≤--2等价于ln-1-≤--2,即ln+1≤0.设g(x)=lnx-x+1,则g'(x)=-1.当x∈(0,1)时,g'(x)>0;当x∈(1,+∞)时,g'(x)<0.所以g(x)在区间(0,1)内单调递增,在区间(1,+∞)内单调递减.故当x=1时,g(x)取得最大值,最大...
