课后限时集训(六)函数的奇偶性与周期性(建议用时：40分钟)A组基础达标一、选择题1．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上递增的是()A．y＝exB．y＝sinxC．y＝cosxD．y＝lnx2D[y＝ex不是偶函数，所以A不正确；y＝sinx是奇函数，所以B不正确；y＝cosx是偶函数，在(0，＋∞)上不是递增函数，所以C不正确；y＝lnx2是偶函数，在(0，＋∞)上是递增函数，所以D正确．故选D.]2．已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋m，则f(－2)＝()A．－3B．－C.D．3A[因为f(x)为R上的奇函数，所以f(0)＝0，即f(0)＝20＋m＝0，解得m＝－1，则f(－2)＝－f(2)＝－(22－1)＝－3.]3．已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于()A．4B．3C．2D．1B[由已知得f(－1)＝－f(1)，g(－1)＝g(1)，则有解得g(1)＝3.]4．(2019·江西六校联考)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)＝则g[f(－8)]＝()A．－1B．－2C．1D．2A[ 函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)＝∴f(－8)＝－f(8)＝－log39＝－2，∴g[f(－8)]＝g(－2)＝f(－2)＝－f(2)＝－log33＝－1.故选A.]5．定义在R上的奇函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，且f(1)＝1，则f(2019)＝()A．0B．1C．－1D．－2B[由题意得f(x＋4)＝f(2－(x＋2))＝f(－x)＝－f(x)，∴f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，∴函数f(x)以8为周期，∴f(2019)＝f(3)＝f(1)＝1，故选B.]6．(2019·皖南八校联考)偶函数f(x)在(－∞，0]上是增函数，且f(1)＝－1，则满足f(2x－3)＞－1的实数x的取值范围是()A．(1,2)B．(－1,0)C．(0,1)D．(－1,1)A[因为偶函数f(x)在(－∞，0]上是增函数，所以函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数．由f(1)＝－1且满足f(2x－3)＞－1＝f(1)，等价于f(|2x－3|)＞f(1)，|2x－3|＜1，可得－1＜2x－3＜1,2＜2x＜4,1＜x＜2，所以实数x的取值范围是(1,2)，故选A.]7．(2019·广州模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，f(x)＝f(x＋4)，且当x∈(－1,0)时，f(x)＝2x＋，则f(log220)＝()A．1B.C．－1D．－C[由于x∈R，且f(－x)＝－f(x)，所以函数为奇函数，由于f(x)＝f(x＋4)，所以函数的周期为4，log216＜log220＜log232，即4＜log220＜5,0＜log220－4＜1，∴0＜log2＜1，∴f(log220)＝f(log220－4)＝f＝－f＝－f＝－＝－＝－1，故选C.]二、填空题8．(2019·山西八校联考)已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x＋2)＝－，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f＝________.[ f(x＋2)＝－，∴f(x＋4)＝f(x)，∴f＝f，又2≤x≤3时，f(x)＝x，∴f＝，∴f＝.]9．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上递增．若实数a满足f(2|a－1|)＞f(－)，则a的取值范围是________．[ f(2|a－1|)＞f(－)＝f()，又由已知可得f(x)在(0，＋∞)上递减，∴2|a－1|＜＝2，∴|a－1|＜，∴＜a＜.]10．定义在实数集R上的函数f(x)满足f(x)＋f(x＋2)＝0，且f(4－x)＝f(x)．现有以下三个命题：①8是函数f(x)的一个周期；②f(x)的图像关于直线x＝2对称；③f(x)是偶函数．其中正确命题的序号是________．①②③[ f(x)＋f(x＋2)＝0，∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x)的周期为4，故①正确；又f(4－x)＝f(x)，所以f(2＋x)＝f(2－x)，即f(x)的图像关于直线x＝2对称，故②正确；由f(x)＝f(4－x)得f(－x)＝f(4＋x)＝f(x)，故③正确．]B组能力提升1．已知f(x)＝asinx＋b＋4，若f(lg3)＝3，则f＝()A.B．－C．5D．8C[因为f(x)＋f(－x)＝8，f＝f(－lg3)，所以f＝8－f(lg3)＝5，故选C.]2．(2019·衡水调研)已知函数f(x)＝若f(－a)＋f(a)≤2f(1)，则a的取值范围是()A．[－1,0)B．[0,1]C．[－1,1]D．[－2,2]C[由函数方程可知f(x)是偶函数，故f(－a)＝f(a)，原不等式等价于f(a)≤f(1)，即f(|a|)≤f(1)，而函数在[0，＋∞)上递增，故|a|≤1，解得－1≤a≤1.]3．(2018·洛阳一模)若函数f(x)同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函数”：(1)任意x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0；(2)任意x1，x2∈R，且x1≠x2，都有＜0.①f(x)＝sinx；②f(x)＝－2x3；③f(x)＝1－x；④f(x)＝ln(＋x)．以上四个函数中，“优美函数”的个数是()A．0B．1C．2D．3B[由条件(1)，得f(x)是奇函数，由条件(2)，得f(...
