课后限时集训33数列的概念与简单表示法建议用时：45分钟一、选择题1．数列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一个通项公式an等于()A．B．cosC．cosπD．cosπD[令n＝1,2,3，…，逐一验证四个选项，易得D正确．]2．若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝，则等于()A.B.C.D.30D[当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝，所以＝5×6＝30.]3．记Sn为数列{an}的前n项和．“任意正整数n，均有an>0”是“{Sn}是递增数列”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[ “an>0”⇒“数列{Sn}是递增数列”，∴“an>0”是“数列{Sn}是递增数列”的充分条件．如数列{an}为－1,1,3,5,7,9，…，显然数列{Sn}是递增数列，但是an不一定大于零，还有可能小于零，∴“数列{Sn}是递增数列”不能推出“an>0”，∴“an>0”是“数列{Sn}是递增数列”的不必要条件．∴“an>0”是“数列{Sn}是递增数列”的充分不必要条件．]4．(2019·武汉5月模拟)数列{an}中，an＋1＝2an＋1，a1＝1，则a6＝()A．32B．62C．63D．64C[数列{an}中，an＋1＝2an＋1，故an＋1＋1＝2(an＋1)，因为a1＝1，故a1＋1＝2≠0，故an＋1≠0，所以＝2，所以{an＋1}为等比数列，首项为2，公比为2.所以an＋1＝2n即an＝2n－1，故a6＝63，故选C.]5．若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n(n∈N＋)，则数列{nan}中数值最小的项是()A．第2项B．第3项C．第4项D．第5项B[ Sn＝n2－10n，∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－11；当n＝1时，a1＝S1＝－9也适合上式．∴an＝2n－11(n∈N＋)．记f(n)＝nan＝n(2n－11)＝2n2－11n，此函数图像的对称轴为直线n＝，但n∈N＋，∴当n＝3时，f(n)取最小值．∴数列{nan}中数值最小的项是第3项．]二、填空题6．已知数列，，，，，…，则5是它的第________项．21[数列，，，，，…中的各项可变形为，，，，，…，所以通项公式为an＝＝，令＝5，得n＝21.]7．若数列{an}满足a1＝1，a2＝3，an＋1＝(2n－λ)an(n＝1,2，…)，则a3等于________．15[令n＝1，则3＝2－λ，即λ＝－1，由an＋1＝(2n＋1)an，得a3＝5a2＝5×3＝15.]8．在一个数列中，如果任意n∈N＋，都有anan＋1an＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积．已知数列{an}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________.28[ a1a2a3＝8，且a1＝1，a2＝2.∴a3＝4，同理可求a4＝1，a5＝2.a6＝4，∴{an}是以3为周期的数列，∴a1＋a2＋a3＋…＋a12＝(1＋2＋4)×4＝28.]三、解答题9．(2019·洛阳模拟)已知数列{an}满足a1＝50，an＋1＝an＋2n(n∈N＋)，(1)求{an}的通项公式；(2)已知数列{bn}的前n项和为an，若bm＝50，求正整数m的值．[解](1)当n≥2时，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1＝2(n－1)＋2(n－2)＋…＋2×2＋2×1＋50＝2×＋50＝n2－n＋50.又a1＝50＝12－1＋50，∴{an}的通项公式为an＝n2－n＋50，n∈N＋.(2)b1＝a1＝50，当n≥2时，bn＝an－an－1＝n2－n＋50－[(n－1)2－(n－1)＋50]＝2n－2，即bn＝.当m≥2时，令bm＝50，得2m－2＝50，解得m＝26.又b1＝50，∴正整数m的值为1或26.10．设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝a(a≠3)，an＋1＝Sn＋3n，n∈N＋，设bn＝Sn－3n，(1)求数列{bn}的通项公式；(2)若an＋1≥an，n∈N＋，求a的取值范围．[解](1)依题意，Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n，即Sn＋1＝2Sn＋3n，由此得Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n)，即bn＋1＝2bn，又b1＝S1－3＝a－3，所以数列{bn}的通项公式为bn＝(a－3)2n－1，n∈N＋.(2)由(1)知Sn＝3n＋(a－3)2n－1，n∈N＋，于是，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n＋(a－3)2n－1－3n－1－(a－3)2n－2＝2×3n－1＋(a－3)2n－2，an＋1－an＝4×3n－1＋(a－3)2n－2＝2n－2，当n≥2时，an＋1≥an⇒12×n－2＋a－3≥0⇒a≥－9，又a2＝a1＋3＞a1(a≠3)．综上，a的取值范围是[－9,3)∪(3，＋∞)．1．已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝(n∈N＋)，若bn＋1＝(n－λ)，b1＝－λ，且数列{bn}是递增数列，则实数λ的取值范围是()A．(2，＋∞)B．(3，＋∞)C．(－∞，2)D．(－∞，3)C[由an＋1＝，知＝＋1，即＋1＝2，所以数列是首项为＋1＝2，公比为2的等...
