05三角函数的图象与性质1.已知角α的终边经过点P(-5,-12),则sin(3π2+α)的值等于().A.-513B.-1213C.513D.1213解析▶因为角α的终边经过点P(-5,-12),由三角函数的定义可知cosα=xr=-5❑√(-5)2+(-12)2=-513,所以sin(3π2+α)=-cosα=513.答案▶C2.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0),满足f(x1)=-1,f(x2)=0,且|x1-x2|的最小值为π4,则ω=().A.2B.1C.12D.4解析▶由题意可知|x1-x2|的最小值为T4,所以T=π4×4=π,所以ω=2ππ=2,故选A.答案▶A3.将函数y=cos3x的图象向左平移π4个单位长度,所得图象对应的函数解析式是().A.y=cos(3x+π4)B.y=cos(3x-π4)C.y=cos(3x-3π4)D.y=cos(3x+3π4)解析▶由函数图象的平移规则可知y=cos3x的图象向左平移π4个单位长度得到y=cos3(x+π4)的图象,即所求函数解析式是y=cos(3x+3π4),故选D.答案▶D4.给出下列结论:①函数y=sin(kπ-x)(k∈Z)为奇函数;②函数y=tan(2x+π6)的图象关于点(π12,0)对称;③函数y=cos(2x+π3)的图象的一条对称轴为直线x=-2π3;④若tan(π-x)=2,则sin2x=15.其中正确结论的序号为.解析▶y=sin(kπ-x)=(-1)k-1sinx是奇函数,故①正确;tan(2×π12+π6)=❑√3,故②不正确;cos[2×(-2π3)+π3]=-1,故③正确;tan(π-x)=-tanx=2,tanx=-2,sin2x=sin2xsin2x+cos2x=tan2xtan2x+1=45,故④不正确.综上,正确结论的序号为①③.答案▶①③能力1▶能运用三角函数的图象和性质解决问题【例1】已知函数f(x)=2❑√3sinxcosx+2cos2x+m-1在[0,π2]上的最小值为-2.(1)求m的值及f(x)图象的对称轴;(2)求f(x)的单调递增区间.解析▶(1)由已知得f(x)=❑√3sin2x+cos2x+m=2sin(2x+π6)+m. 0≤x≤π2,∴π6≤2x+π6≤7π6,∴当2x+π6=7π6,即x=π2时,f(x)min=2×(-12)+m=-2,∴m=-1,此时f(x)=2sin(2x+π6)-1.由2x+π6=kπ+π2(k∈Z),解得x=kπ2+π6(k∈Z),∴f(x)图象的对称轴为直线x=kπ2+π6(k∈Z).(2)由-π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ(k∈Z),可得-π3+kπ≤x≤π6+kπ(k∈Z),∴f(x)的单调递增区间为[-π3+kπ,π6+kπ](k∈Z).有关函数y=Asin(ωx+φ)+B的性质及应用问题的求解思路:第一步,先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y=Asin(ωx+φ)+B的形式;第二步,把“ωx+φ”视为一个整体,借助复合函数性质求解y=Asin(ωx+φ)+B的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题.已知函数f(x)=sin(2x+π3),则下列结论正确的是().A.f(x)的图象关于直线x=π3对称B.f(x)的图象关于点(π4,0)对称C.把f(x)的图象向左平移π12个单位长度,得到一个偶函数的图象D.f(x)的最小正周期为π,且在[0,π6]上为增函数解析▶把x=π3代入函数f(x)的解析式得f(π3)=sinπ=0,故A不正确;把x=π4代入函数f(x)的解析式得f(π4)=sin(π2+π3)=cosπ3=12≠0,故B不正确;函数f(x)=sin(2x+π3)的图象向左平移π12个单位长度,得到g(x)=sin[2(x+π12)+π3]=sin(2x+π6+π3)=cos2x的图象,g(x)是偶函数,故C正确;由题意知函数f(x)的最小正周期为π,令2kπ-π2≤2x+π3≤2kπ+π2(k∈Z),解得kπ-5π12≤x≤kπ+π12(k∈Z),所以函数f(x)的单调递增区间为[kπ-5π12,kπ+π12](k∈Z).令k=0,得-5π12≤x≤π12,令k=1,得7π12≤x≤13π12,所以函数f(x)在[0,π6]上为增函数是错误的,故D不正确.故选C.答案▶C能力2▶会根据三角函数的图象求其解析式【例2】已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图象如图所示,则该函数的解析式为().A.y=2sin(2x-π6)B.y=2sin(2x-π3)C.y=2sin(2x+π6)D.y=2sin(2x+π3)解析▶(法一)由图象知T2=π3-(-π6)=π2,故T=π,因此ω=2ππ=2.又图象的一个最高点的坐标为(π3,2),所以A=2,且2×π3+φ=2kπ+π2(k∈Z),故φ=2kπ-π6(k∈Z),结合选项可知y=2sin(2x-π6).(法二)当x=π3,y=2时,排除B,C,D.故选A.答案▶A已知图象求解析式y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的方法:(1)A=ymax-ymin2,B=ymax+ymin2.(2)已知函数的周期T,则ω=2πT.(3)求φ的常用方法:①代入法:把图象上的一个已知点的坐标代入解析式(A,ω,B已知)求解.②五点法:确定φ值时,一般以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口.具体如下:“第一点”满足ωx+φ=0;“第二点”满足ωx+φ=π2;“第三点”满足ωx+φ=π;“第四点...
