高三数学函数的单调性、反函数知识精讲一.本周教学内容：函数的单调性、反函数【基本知识】一.函数的单调性1.函数的单调性及单调区间（1）增函数：对任意，则为上的增函数。，，，，xxabxxfxfxfxab121212[]()()()[]（2）减函数：对任意，则为上的减函数。，，，，xxabxxfxfxfxab121212[]()()()[]单调区间：在某个区间M上的递增函数或递减函数统称在区间M上的单调函数，而这个区间M称为单调区间。图像特征：单增函数从左至右逐渐上升，单减函数从左至右逐渐下降。注意：单调性必须以范围为前提，奇偶具有整体性，而单调性具有局部性。2.基本函数的单调性（1）一次函数y=kx+b，当k>0时为定义域上的增函数；当k<0时为定义域上的减函数。（2）二次函数y=ax2+bx+c，当a>0，在()[)，，单减，在baba22单增，当时，在上单增，在上单减。，，ababa022()[)（）反比例函数，当，在单减，在上单减，当，上，3000ykxk()()k<0，在（－∞，0）单增，在（0，＋∞）单增。（4）指数函数y=ax，当a>1时，在R上单增，当0
1时，在（0，＋∞）单增，当00时，在（0，＋∞）上单减，x∈（－∞，0）上的情形可借助函数的定义域和奇偶性判断。3.复合函数的单调性（不要求证明）规律如下表：函数单调性ugx()增减增减yfu()增减减增yfgx(())增增减减4.单调性的判断与证明：（1）范围是前提（先明确在某区域内）（2）定义即方法（用定义证明）（3）步骤：第一步：任取且，，；xxabxx1212[]第二步：证明（或）fxfxfxfx()()()()1212用心爱心专心115号编辑第三步：由定义得结论其中关键在于第二步证明，常用方法是作差→变形→判断符号。二.反函数1.存在条件：若函数y=f(x)的定义域为A，值域为B，对于B中每一个元素y0，在A中都有唯一确定的x0与之对应，则函数y=f(x)存在反函数记为y=f-1(x)，否则，就不存在反函数，由定义有如下结论：（1）定义域上的单调函数必有反函数；（2）奇函数的反函数仍为奇函数；（3）定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数；（4）周期函数不存在反函数。2.互为反函数的图像之间的关系互为反函数的图象关于直线y=x对称有如下结论：（1）反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域。（）21fabfba()()（3）函数y=f(x)与x=f-1(y)的图像完全相同（因为只是改变了x、y之间的表达方式，而没有改变其本质关系，故视为同一函数，即y=f(x)x=f-1(y)互换x，y，y=f-1(x)）为y=f(x)或x=f-1(y)的反函数。（4）互为反函数的两个函数具有相同的单调性和奇偶性。3.反函数的求法步骤：（1）确定原函数的值域，也就是反函数的定义域。（2）由y=f(x)的解析式求出x＝f－1(y)。（3）互换x，y得y=f－1(x)，并注明定义域。注意：对于分段函数，先分别求各段上的反函数，然后合并在一起（分段函数的反函数仍然是分段函数）。【例题分析】例1.已知函数y=f(x)在定义域[－1，1]上是奇函数，又是减函数。（）证明：对任意有，，，1121212110xxfxfxxx[][()()]()（）若，求实数的取值范围。21102fafaa()()（1）证明：若x1+x2=0显然不等式成立，若x1+x2<0，则－10时，原不等式也成立。（2）解：fafa()()1102用心爱心专心115号编辑fafafafa()()()()111122由函数单调减，故可得以下不等式组：1111111102022101222aaaaaaaa故所求a的取值范围是[0，1）小结：本题第一问证明时用了分类的方法，这在有关函数奇偶性的这类题中较常见，因奇偶函数本质是对称函数，可先讨论或证明其中一个区间的性质，然后利用对称性得其对称区间性质，当然对于每一个分类而言需用函数的单调性加以解决，对于第二问其本质是解不等式，必须利用函数的单调性，应注意...
