第4讲用数学归纳法证明数列问题选题明细表知识点·方法巩固提高A巩固提高B数学归纳法的理解1,2,51数学归纳法的第一步3,72,7数学归纳法的第二步4,6,10,123,4,5,6,8,9,12类比归纳8,9,1110,11数学归纳法的应用13,14,1513,14,15巩固提高A一、选择题1.如果命题P(n)对n=k成立,则它对n=k+2也成立,若P(n)对n=2也成立,则下列结论正确的是(B)(A)P(n)对所有正整数n都成立(B)P(n)对所有正偶数n都成立(C)P(n)对所有正奇数n都成立(D)P(n)对所有正整数n都成立解析:由题意n=k时成立,则n=k+2时也成立,又n=2时成立,则P(n)对所有正偶数都成立.故选B.2.设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足:“当f(k)≤k2成立时,总可推出f(k+1)≤(k+1)2成立.”那么,下列命题总成立的是(D)(A)若f(2)≤4成立,则当k≥1时,均有f(k)≤k2成立(B)若f(4)≤16成立,则当k≤4时,均有f(k)≤k2成立(C)若f(6)>36成立,则当k≥7时,均有f(k)>k2成立(D)若f(7)=50成立,则当k≤7时,均有f(k)>k2成立解析:若f(2)≤4成立,依题意则应有当k≥2时,均有f(k)≤k2成立,故A不成立;若f(4)≤16成立,依题意则应有当k≥4时,均有f(k)≤k2成立,故B不成立;因命题“当f(k)≤k2成立时,总可推出f(k+1)≤(k+1)2成立”“当⇔f(k+1)>(k+1)2成立时,总可推出f(k)>k2成立”;因而若f(6)>36成立,则当k≤6时,均有f(k)>k2成立,故C也不成立;对于D,事实上f(7)=50>49,依题意知当k≤7时,均有f(k)>k2成立,故D成立.3.若f(n)=1+++…+(n∈N*),则f(1)为(C)(A)1(B)(C)1++++(D)非以上答案解析:注意f(n)的项的构成规律,各项分子都是1,分母是从1到6n-1的正整数,故f(1)=1++++.故选C.4.用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n·1·3·…·(2n-1)(n∈N*),从k到k+1时,左端需增乘的代数式为(B)(A)2k+1(B)2(2k+1)(C)(D)解析:n=k时左边为(k+1)(k+2)…(k+k),n=k+1时左边为(k+2)(k+3)…(k+k+2),所以增加的项为=2(2k+1).故选B.5.利用数学归纳法证明不等式“n2+1对于n≥n0的正整数n都成立”时,第一步证明中的起始值n0应取.解析:令n0分别取1,2,3,4,5,6,依次验证即得.答案:58.已知f(n)=1+++…+(n∈N*),经计算f(2)=,f(4)>2,f(8)>,f(16)>3,f(32)>,推测当n≥2时,有.解析:括号中的通项公式是2n,右边通分成分母为2,则分子的通项公式是n+2.答案:f(2n)>9.观察下列等式:(1+x+x2)1=1+x+x2,(1+x+x2)2=1+2x+3x2+2x3+x4,(1+x+x2)3=1+3x+6x2+7x3+6x4+3x5+x6,(1+x+x2)4=1+4x+10x2+16x3+19x4+16x5+10x6+4x7+x8,…由以上等式推测:对于n∈N*,若(1+x+x2)n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n,则a2=.解析:由已知中的式子,我们观察后分析:等式右边展开式中的第三项分别为1,3,6,10,…,即1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,…根据已知可以推断:第n个等式中a2为1+2+…+n=.答案:10.平面上有n条直线,它们任何两条不平行,任何三条不共点,设k条这样的直线把平面分成f(k)个区域,则k+1条直线把平面分成的区域数f(k+1)=f(k)+.解析:当n=k+1时,第k+1条直线被前k条直线分成(k+1)段,而每一段将它们所在区域一分为二,故增加了k+1个区域.答案:k+111.已知a1=,an+1=,则a2,a3,a4,a5的值分别为,由此猜想an=.解析:a2====,同理,a3===,a4==,a5==,猜想an=.答案:,,,12.已知f(n)=1+++…+(n∈N*),用数学归纳法证明f(2n)>时,f(2k+1)-f(2k)=.解析:n=k时,f(2k)=1+++…+,当n=k+1时,f(2k+1)=1+++…+++…+,所以f(2k+1)-f(2k)=1+++…+++…+-(1+++…+)=++…+.答案:++…+三、解答题13.已知数列{an}满足an+1=,a1=0,(1)计算a2,a3,a4,a5的值;(2)根据以上计算结果猜想{an}的通项公式,并用数学归纳法证明你的猜想.解:(1)由an+1=和a1=0,得a2==,a3==,a4==,a5==.(2)由以上结果猜测:an=,用数学归纳法证明如下:①当n=1时,左边=a1=0,右边=0,等式成立;②假设当n=k(k≥1)时,命题成立,即ak=成立,那么,当...
