§10.9离散型随机变量的均值与方差1．离散型随机变量的均值(1)若离散型随机变量X的概率分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则称E(X)＝__________________为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的____________．(2)若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，于是E(Y)＝____________________.(3)①若X服从两点分布，则E(X)＝____________；②若X～B(n，p)，则E(X)＝____________.2．离散型随机变量的方差(1)若离散型随机变量X的概率分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则称D(X)＝__________为随机变量X的方差，其算术平方根________为随机变量X的标准差．(2)D(aX＋b)＝____________.(3)①若X服从两点分布，则D(X)＝_________；②若X～B(n，p)，则D(X)＝____________.方差反映随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度：D(X)越小，X取值越集中D(X)越大，X取值越分散．自查自纠1．(1)x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn平均水平(2)aE(X)＋b(3)①p②np2．(1)(xi－E(X))2pi(2)a2D(X)(3)①p(1－p)②np(1－p)()已知随机变量X的分布列如下表，则E(X)＝()X013P0.20.2yA.0.4B．1.2C．1.6D．2解：由0.2＋0.2＋y＝1得y＝0.6，从而计算得X的期望为2.故选D.()已知离散型随机变量X的分布列为X－101Px则X的数学期望E(X)＝()A．－B.C.D.解：依题意得：＋＋x＝1，所以x＝.E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝.故选B.()已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝1，2，3，则D(3X＋5)＝()A．6B．9C．3D．4解：由E(X)＝(1＋2＋3)＝2，得D(X)＝，D(3X＋5)＝32×D(X)＝6.故选A.有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取3件，若ξ表示取到次品的个数，则D(ξ)＝__________．解：由题知，次品率p＝＝，则ξ～B，从而D(ξ)＝3××＝.故填.()随机变量ξ的取值为0，1，2，若P(ξ＝0)＝，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝__________．解：设P(ξ＝1)＝p，则ξ的分布列如下：ξ012Pp－p由E(ξ)＝1，得p＋2＝1，可得p＝，∴D(ξ)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＝.故填.类型一摸球模型、抽签模型一口袋中装有大小相同的2个白球和4个黑球，每次从袋中任意摸出一个球．(1)采取有放回抽样方式，从中摸出两个球，求两球恰好颜色不同的概率；(2)采取不放回抽样方式，从中摸出两个球，求摸得白球的个数的均值和方差．解：(1)“有放回摸取”可看作独立重复试验，每次摸出一球是白球的概率为P＝＝.记“有放回摸两次，颜色不同”为事件A，其概率为P(A)＝.(2)设摸得白球的个数为X，则X的取值为0，1，2，P(X＝0)＝×＝，P(X＝1)＝×＋×＝，P(X＝2)＝×＝.∴X的分布列为X012PE(X)＝0×＋1×＋2×＝，D(X)＝×＋×＋×＝.【点拨】求离散型随机变量的分布列的关键在于确定随机变量及其概率．就本题而言，弄清“放回”与“不放回”在概率计算上的区别是正确解题的关键．均值与方差直接套用公式计算即可．一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有2件次品，用户先对产品进行抽检以决定是否接收．抽检规则如下：一次取一件产品检查(取出的产品不放回箱子)，共抽查三次，若三次都没有抽查到次品，则用户接收这箱产品，若抽查到次品就立即停止抽检，并且用户拒绝接收这箱产品．(1)求这箱产品被用户接收的概率；(2)记抽检的产品件数为X，求X的分布列和均值．解：(1)设“这箱产品被用户接收”为事件A，P(A)＝＝.即这箱产品被用户接收的概率为.(2)X的可能取值为1，2，3.P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝×＝，P(X＝3)＝××＝，∴X的概率分布列为X123P∴E(X)＝×1＋×2＋×3＝.类型二停止型问题某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行5次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加5次测试．假设某学生每次通过测试的概率都是，每次测试通过与否相互独立．规定：若前4次都没有通过测试，则不能参加第5次测试．(1)求该学生获得足够学分升上大学的概率；(2)如果获得足够学分升上大学或参加完5次测试就结束，记该生参加测试的次数为X，求变量X的分布列及均值E(X)．解：(1)记“该生考上大学”为事件A，其对立事件为A，则P(A)＝C＋＝＋＝.∴P(A)＝1－P(A)...
