第1讲几何证明选讲1．如图，已知B在AC上，D在BE上，且AB∶BC＝2∶1，ED∶DB＝2∶1，求AD∶DF.解如图，过D作DG∥AC交FC于G(还可过B作EC的平行线)． ＝＝，∴DG＝BC. BC＝AC，∴DG＝AC.∴＝＝，∴DF＝AF，从而AD＝AF，故AD∶DF＝7∶2.2.如图，圆O1与O2内切于点A，其半径分别为r1与r2(r1>r2)．圆O1的弦AB交圆O2于点C(O1不在AB上)．求证：AB∶AC为定值．证明如图，连接AO1，并延长分别交两圆于点E和点D，连接BD、CE. 圆O1与圆O2内切于点A，∴点O2在AD上，故AD、AE分别为圆O1，圆O2的直径．从而∠ABD＝∠ACE＝90°.∴BD∥CE，于是＝＝＝，∴AB∶AC为定值．3.如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F.求证：FD2＝FB·FC.证明 E是Rt△ACD斜边AC的中点，∴DE＝EA，∴∠A＝∠2.又 ∠1＝∠2，∴∠1＝∠A. ∠FDC＝∠CDB＋∠1＝90°＋∠1，∠FBD＝∠ACB＋∠A＝90°＋∠A，∴∠FDC＝∠FBD.又 ∠F是公共角，∴△FBD∽△FDC，∴＝，∴FD2＝FB·FC.4.如图，在△ABC中，CM是∠ACB的平分线，△AMC的外接圆O交BC于点N.若AC＝AB，求证：BN＝2AM.证明连结MN.因为CM是∠ACB的平分线，所以∠ACM＝∠NCM，所以AM＝MN.因为∠B＝∠B，∠BMN＝∠A，所以△BMN∽△BCA，所以＝＝2，即BN＝2MN＝2AM.5.如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，过点C作⊙O的切线，交BD的延长线于点P，交AD的延长线于点E.(1)求证：AB2＝DE·BC；(2)若BD＝9，AB＝6，BC＝9，求切线PC的长．(1)证明 AD∥BC，∴AB＝CD.∴AB＝CD，∠EDC＝∠BCD.又PC与⊙O相切，∴∠ECD＝∠DBC.∴△CDE∽△BCD.∴＝.∴CD2＝DE·BC，即AB2＝DE·BC.(2)解由(1)知，DE＝＝＝4， AD∥BC，∴△PDE∽△PBC，∴＝＝.又 PB－PD＝9，∴PD＝，PB＝.∴PC2＝PD·PB＝·＝.∴PC＝.6．如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2－14x＋mn＝0的两个根．(1)证明：C，B，D，E四点共圆；(2)若∠A＝90°，且m＝4，n＝6，求C，B，D，E所在圆的半径．解(1)证明：连结DE，根据题意在△ADE和△ACB中，AD×AB＝mn＝AE·AC，即＝.又∠DAE＝∠CAB，从而△ADE～△ACB.因此∠ADE＝∠ACB.所以C，B，D，E四点共圆．(2)m＝4，n＝6时，方程x2－14x＋mn＝0的两根为x1＝2，x2＝12.故AD＝2，AB＝12.取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连结DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH.由于∠A＝90°，故GH∥AB，HF∥AC.从而HF＝AG＝5，DF＝×(12－2)＝5.故C，B，D，E四点所在圆的半径为5.7.如图，圆O是△ABC的外接圆，延长BC边上的高AD交圆O于点E，H为△ABC的垂心．求证：DH＝DE.证明连结CE，CH.因为H为△ABC的垂心，所以∠ECD＝∠BAD＝90°－∠ABC，∠HCD＝90°－∠ABC，所以∠ECD＝∠HCD.又因为CD⊥HE，CD为公共边，所以△HDC≌△EDC，所以DH＝DE.8.已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB、FC.(1)求证：FB＝FC；(2)若AB是△ABC外接圆的直径，∠EAC＝120°，BC＝3，求AD的长．(1)证明 AD平分∠EAC，∴∠EAD＝∠DAC. 四边形AFBC内接于圆，∴∠DAC＝∠FBC. ∠EAD＝∠FAB＝∠FCB，∴∠FBC＝∠FCB，∴FB＝FC.(2)解 AB是圆的直径，∴∠ACD＝90°. ∠EAC＝120°，∠DAC＝∠EAC＝60°，∠D＝30°.在Rt△ACB中， BC＝3，∠BAC＝60°，∴AC＝3，又在Rt△ACD中，∠D＝30°，AC＝3，∴AD＝6.9.如图，从圆O外一点P作圆O的两条切线，切点分别为A、B，AB与OP交于点M，设CD为过点M且不过圆心O的一条弦，求证：O、C、P、D四点共圆．证明 PA、PB为圆O的两条切线，∴OP垂直平分弦AB，∴AM＝BM.在Rt△OAP中，OM·MP＝AM2，在圆O中，AM·BM＝CM·DM，∴OM·MP＝CM·DM，又弦CD不过圆心O，∴O、C、P、D四点共圆.10.如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于N，过点N的切线交CA的延长线于P.(1)求证：PM2＝PA·PC；(2)若⊙O的半径为2，OA＝OM，求MN的长．(1)证明连结ON.因为PN切⊙O于N，所以∠ONP＝90°.所以∠ONB＋∠BNP＝9...
