第6节双曲线1．(2018·高考浙江卷)双曲线－y2＝1的焦点坐标是()A．(－，0)，(，0)B．(－2,0)，(2,0)C．(0，－)，(0，)D．(0，－2)，(0,2)解析：B[∵c2＝3＋1＝4，∴双曲线－y2＝1的焦点坐标是(－2,0)，(2,0)．]2．已知双曲线C：－y2＝1的左，右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线与双曲线C的右支相交于P，Q两点，且点P的横坐标为2，则△PF1Q的周长为()A．4B.C．5D.解析：D[因为∴|PF1|＋|PF2|＝，所以△PF1Q的周长为2(|PF1|＋|PF2|)＝，故选D.]3．(2018·高考天津卷)已知双曲线－＝1，(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点．设A、B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析：C[设双曲线的右焦点坐标为F(c,0)(c>0)，则xA＝xB＝c，由－＝1可得：y＝±，不妨设：A，B，双曲线的一条渐近线方程为：bx－ay＝0，据此可得：d1＝＝，d2＝＝，则d1＋d2＝＝2b＝6，则b＝3，b2＝9，双曲线的离心率为：e＝＝＝＝2，据此可得a2＝3，则双曲线的方程为－＝1.本题选择C选项．]4．(2019·晋城市一模)已知F1，F2是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦点，点P在双曲线C的右支上，如果|PF1|＝3|PF2|，则双曲线C离心率的取值范围是()A．(1,2]B．[2，＋∞)C．(1,3]D．[3，＋∞)解析：A[设|PF2|＝t，|PF1|＝3|PF2|，则|PF1|＝3t，∴3t－t＝2a，∴t＝a，可得，解得1＜≤2，即e∈(1,2]．故选：A.]5．(2018·佳木斯市三模)椭圆C：＋＝1与双曲线E：－＝1(a，b>0)有相同的焦点，且两曲线的离心率互为倒数，则双曲线渐近线的倾斜角的正弦值为()A.B.C.D.解析：D[椭圆C：＋＝1的焦点坐标(±1,0)，离心率为.双曲线E：－＝1(a，b>0)的焦点(±1,0)，c＝1，双曲线的离心率为2.可知a＝，则b＝，双曲线渐近线y＝±x的倾斜角的正弦值为.故选D.]6．(2016·高考浙江卷)设双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是________．解析：如图，由已知可得a＝1，b＝，c＝2，从而|F1F2|＝4，由对称性不妨设点P在右支上，设|PF2|＝m，则|PF1|＝m＋2a＝m＋2，由于△PF1F2为锐角三角形，结合实际意义需满足解得－1＋＜m＜3，又|PF1|＋|PF2|＝2m＋2，∴2＜2m＋2＜8.答案：(2，8)7．(2018·高考北京卷)已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)，双曲线N：－＝1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________；双曲线N的离心率为________．解析：①如图：连接AF1，由正六边形的性质可知，△AF2F1为直角三角形，且∠AF2F1＝60°，∠AF1F2＝30°.所以在△AF2F1中，|AF2|＝c，|AF1|＝c.又由椭圆的定义可知，|AF1|＋|AF2|＝2a，|F1F2|＝2c.∴(1＋)c＝2a，∴e＝＝＝－1.②由正六边形的性质可知，∠AOF2＝60°，tan∠AOF2＝＝，又由双曲线的性质可知：∴e＝＝＝2.答案：－128．已知双曲线－＝1的一个焦点是(0,2)，椭圆－＝1的焦距等于4，则n＝________.解析：因为双曲线的焦点是(0,2)，所以焦点在y轴上，所以双曲线的方程为－＝1，即a2＝－3m，b2＝－m，所以c2＝－3m－m＝－4m＝4，解得m＝－1.所以椭圆方程为＋x2＝1，且n>0，椭圆的焦距为4，所以c2＝n－1＝4或1－n＝4，解得n＝5或－3(舍去)．答案：59．已知椭圆D：＋＝1与圆M：x2＋(y－5)2＝9，双曲线G与椭圆D有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程．解：椭圆D的两个焦点坐标为(－5,0)，(5,0)，因而双曲线中心在原点，焦点在x轴上，且c＝5.设双曲线G的方程为－＝1(a>0，b>0)，所以渐近线方程为bx±ay＝0且a2＋b2＝25，又圆心M(0,5)到两条渐近线的距离为r＝3.所以＝3，得a＝3，b＝4，所以双曲线G的方程为－＝1.10．已知双曲线焦距为4，焦点在x轴上，且过点P(2,3)．(1)求该双曲线的标准方程；(2)若直线m经过该双曲线的右焦点且斜率为1，求直线m被双曲线截得的弦长．解：(1)设双曲线方程为－＝1(a，b>0)，由已知可得左、右焦点F1、F2的坐标分别为(－2,0)，(2,0)，则|PF1|－|PF2|＝2＝2a，所以a＝1，又c＝2，所以b＝，所以双曲线方程为x2－＝1.(2)由题意可知直线m方程为y＝x－2，联立双曲线及直线方程消去y，得2x2＋4x－7＝0，设两交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1＋x2＝－2，x1x2＝－，由弦长公式得|AB|＝|x1－x2|＝·＝6.
