高考小题分项练7数列1．在等比数列{an}中，若a1＝，a4＝3，则该数列前五项的积为()A．±3B．3C．±1D．1答案D解析因为a4＝a1q3,3＝×q3，q＝3，所以a1a2a3a4a5＝a＝(a1q2)5＝(×9)5＝1，故选D.2．已知数列{an}是公差为2的等差数列，且a1，a2，a5成等比数列，则a2为()A．－2B．－3C．2D．3答案D解析a1＝a2－2，a5＝a2＋6，∴a＝a1a5＝(a2－2)(a2＋6)，解得a2＝3，故选D.3．等差数列{an}的前n项和为Sn，若＝，则等于()A．2B.C.D.答案C解析当n＝3时，＝＝，∴＝.故选C.4．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝(1＋cos2)an＋sin2，则该数列的前12项和为()A．211B．212C．126D．147答案D解析 a1＝1，a2＝2，an＋2＝(1＋cos2)an＋sin2，∴a3＝a1＋1＝2，a4＝2a2＝4，…，a2k－1＝a2k－3＋1，a2k＝2a2k－2(k∈N*，k≥2)．∴数列{a2k－1}成等差数列，数列{a2k}成等比数列．∴该数列的前12项和为(a1＋a3＋…＋a11)＋(a2＋a4＋…＋a12)＝(1＋2＋…＋6)＋(2＋22＋…＋26)＝＋＝21＋27－2＝147.故选D.5．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＋a7＋a12＝24，则S13等于()A．52B．78C．104D．208答案C解析由a2＋a7＋a12＝24，得a7＝8，所以，S13＝＝13a7＝104，故选C.6．正项等比数列{an}中的a1，a4031是函数f(x)＝x3－4x2＋6x－3的极值点，则loga2016等于()A．1B．2C.D．－1答案A解析 f′(x)＝x2－8x＋6，∴a1·a4031＝6，∴a＝6， a2016>0，∴a2016＝，loga2016＝1.7．设Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝(an－1)(n∈N*)，则an等于()A．3(3n－2n)B．3n＋2C．3nD．3·2n－1答案C解析由已知得，解得代入选项检验，只有C符合．8．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为()A．1升B.升C.升D.升答案B解析设竹子自上而下各节的容积分别为：a1，a2，…，a9，且为等差数列，根据题意得：a1＋a2＋a3＋a4＝3，a7＋a8＋a9＝4，即4a1＋6d＝3，①3a1＋21d＝4，②②×4－①×3得：66d＝7，解得d＝，代入①得：a1＝，则a5＝＋(5－1)×＝.9．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N*)，则S2015等于()A．22015－1B．21009－3C．3×21007－3D．21008－3答案B解析 a1＝1，an＋1·an＝2n，∴a2＝2，∴当n≥2时，an·an－1＝2n－1，∴＝＝2，∴数列{an}中奇数项、偶数项分别成等比数列，∴S2015＝＋＝21009－3，故选B.10．已知数列{an}的通项公式为an＝log2(n∈N*)，设其前n项和为Sn，则使Sn<－5成立的自然数n()A．有最小值63B．有最大值63C．有最小值31D．有最大值31答案A解析 an＝log2(n∈N*)，∴Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝log2＋log2＋…＋log2＝log2(××…×)＝log2，又因为Sn<－5＝log2⇒<⇒n>62，故使Sn<－5成立的正整数n有最小值63.故选A.11．已知函数f(n)＝n2cos(nπ)，且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100等于()A．0B．－100C．100D．10200答案B解析 f(n)＝n2cos(nπ)＝＝(－1)n·n2，∴由an＝f(n)＋f(n＋1)＝(－1)n·n2＋(－1)n＋1·(n＋1)2＝(－1)n[n2－(n＋1)2]＝(－1)n＋1·(2n＋1)，得a1＋a2＋a3＋…＋a100＝3＋(－5)＋7＋(－9)＋…＋199＋(－201)＝50×(－2)＝－100.故选B.12．设等比数列{an}的公比为q，其前n项之积为Tn，并且满足条件：a1>1，a2015a2016>1，<0.给出下列结论：①00；③T2016的值是Tn中最大的；④使Tn>1成立的最大自然数等于4030.其中正确的结论为()A．①③B．②③C．①④D．②④答案C解析由<0可知：a2015<1或a2016<1.如果a2015<1，那么a2016>1，若a2015<0，则q<0；又因为a2016＝a1q2015，所以a2016应与a1异号，即a2016<0，这与假设矛盾，所以q>0.若q≥1，则a2015>1且a2016>1，与推出的结论矛盾，所以01，a2016<1，所以数列从第2016项开始小于1，所以T2015最大．故③错误．由结论①可知数列从第2016项开始小于1，而Tn＝a1a2a3…an，T4031＝a1·a2·…·a4031＝(a1·a4031)·(a2·a4030)·…·(a2015·a2017)·a2016<1，所以Tn>1对应的最大自然数为4030，故④正确．13．...
