高考小题分项练7数列1.在等比数列{an}中,若a1=,a4=3,则该数列前五项的积为()A.±3B.3C.±1D.1答案D解析因为a4=a1q3,3=×q3,q=3,所以a1a2a3a4a5=a=(a1q2)5=(×9)5=1,故选D.2.已知数列{an}是公差为2的等差数列,且a1,a2,a5成等比数列,则a2为()A.-2B.-3C.2D.3答案D解析a1=a2-2,a5=a2+6,∴a=a1a5=(a2-2)(a2+6),解得a2=3,故选D.3.等差数列{an}的前n项和为Sn,若=,则等于()A.2B.C.D.答案C解析当n=3时,==,∴=.故选C.4.已知数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2=(1+cos2)an+sin2,则该数列的前12项和为()A.211B.212C.126D.147答案D解析 a1=1,a2=2,an+2=(1+cos2)an+sin2,∴a3=a1+1=2,a4=2a2=4,…,a2k-1=a2k-3+1,a2k=2a2k-2(k∈N*,k≥2).∴数列{a2k-1}成等差数列,数列{a2k}成等比数列.∴该数列的前12项和为(a1+a3+…+a11)+(a2+a4+…+a12)=(1+2+…+6)+(2+22+…+26)=+=21+27-2=147.故选D.5.设等差数列{an}的前n项和为Sn,且a2+a7+a12=24,则S13等于()A.52B.78C.104D.208答案C解析由a2+a7+a12=24,得a7=8,所以,S13==13a7=104,故选C.6.正项等比数列{an}中的a1,a4031是函数f(x)=x3-4x2+6x-3的极值点,则loga2016等于()A.1B.2C.D.-1答案A解析 f′(x)=x2-8x+6,∴a1·a4031=6,∴a=6, a2016>0,∴a2016=,loga2016=1.7.设Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=(an-1)(n∈N*),则an等于()A.3(3n-2n)B.3n+2C.3nD.3·2n-1答案C解析由已知得,解得代入选项检验,只有C符合.8.《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为()A.1升B.升C.升D.升答案B解析设竹子自上而下各节的容积分别为:a1,a2,…,a9,且为等差数列,根据题意得:a1+a2+a3+a4=3,a7+a8+a9=4,即4a1+6d=3,①3a1+21d=4,②②×4-①×3得:66d=7,解得d=,代入①得:a1=,则a5=+(5-1)×=.9.已知数列{an}满足a1=1,an+1·an=2n(n∈N*),则S2015等于()A.22015-1B.21009-3C.3×21007-3D.21008-3答案B解析 a1=1,an+1·an=2n,∴a2=2,∴当n≥2时,an·an-1=2n-1,∴==2,∴数列{an}中奇数项、偶数项分别成等比数列,∴S2015=+=21009-3,故选B.10.已知数列{an}的通项公式为an=log2(n∈N*),设其前n项和为Sn,则使Sn<-5成立的自然数n()A.有最小值63B.有最大值63C.有最小值31D.有最大值31答案A解析 an=log2(n∈N*),∴Sn=a1+a2+a3+…+an=log2+log2+…+log2=log2(××…×)=log2,又因为Sn<-5=log2⇒<⇒n>62,故使Sn<-5成立的正整数n有最小值63.故选A.11.已知函数f(n)=n2cos(nπ),且an=f(n)+f(n+1),则a1+a2+a3+…+a100等于()A.0B.-100C.100D.10200答案B解析 f(n)=n2cos(nπ)==(-1)n·n2,∴由an=f(n)+f(n+1)=(-1)n·n2+(-1)n+1·(n+1)2=(-1)n[n2-(n+1)2]=(-1)n+1·(2n+1),得a1+a2+a3+…+a100=3+(-5)+7+(-9)+…+199+(-201)=50×(-2)=-100.故选B.12.设等比数列{an}的公比为q,其前n项之积为Tn,并且满足条件:a1>1,a2015a2016>1,<0.给出下列结论:①00;③T2016的值是Tn中最大的;④使Tn>1成立的最大自然数等于4030.其中正确的结论为()A.①③B.②③C.①④D.②④答案C解析由<0可知:a2015<1或a2016<1.如果a2015<1,那么a2016>1,若a2015<0,则q<0;又因为a2016=a1q2015,所以a2016应与a1异号,即a2016<0,这与假设矛盾,所以q>0.若q≥1,则a2015>1且a2016>1,与推出的结论矛盾,所以01,a2016<1,所以数列从第2016项开始小于1,所以T2015最大.故③错误.由结论①可知数列从第2016项开始小于1,而Tn=a1a2a3…an,T4031=a1·a2·…·a4031=(a1·a4031)·(a2·a4030)·…·(a2015·a2017)·a2016<1,所以Tn>1对应的最大自然数为4030,故④正确.13....