专题对点练8导数与函数的零点及参数范围1
(2016江西南昌十所重点学校二模,理21)已知函数f(x)=ex(sinx+cosx)+a,g(x)=(a2-a+10)ex(a∈R且a为常数)
(1)若曲线y=f(x)在(0,f(0))处的切线过点(1,2),求实数a的值;(2)判断函数φ(x)=+1+lnx(b>1)在(0,+∞)内的零点个数,并说明理由
解(1)f'(x)=ex(sinx+cosx)+ex(cosx-sinx)=2excosx,又曲线y=f(x)在(0,f(0))处的切线过点(1,2),得f'(0)=,即2=1-a,解得a=-1
(2)由φ(x)=+1+lnx=0(x>0),得+1+lnx=0,化为=1-x-xlnx,令h(x)=1-x-xlnx,则h'(x)=-2-lnx
由h'(x)=-2-lnx=0,得x=e-2,故h(x)在内递增,在内递减,h(x)max=h=1+
再令t(x)==bex,因为b>1,所以函数t(x)=bex在(0,+∞)内递增,t(x)>t(0)=be0=b>1+
故t(x)>h(x)max,由此判断函数φ(x)在(0,+∞)内没有零点,故φ(x)零点个数为0
(2017山西第四次五校联考,理21)设函数f(x)=lnx-ax(a∈R)
(1)求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线L的方程,并证明:除点A外,曲线y=f(x)都在直线L的下方;(2)若函数h(x)=ex+f(x)在区间(1,3)内有零点,求a的取值范围
解(1)∵f'(x)=-a,∴f'(1)=1-a,∵f(1)=-a,∴L的方程为y+a=(1-a)(x-1),即y=(1-a)x-1
设p(x)=f(x)-(1-a)x+1=lnx-x+1,则p'(x)=,若x>1,则p'(x)0,即g(x)在(1,3)内单调递增,∴g(x)>g(1)=1,则F'(x)
