函数与方程思想专练一、选择题1．椭圆＋y2＝1的两个焦点为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，其一交点为P，则|PF2|＝()A.B.C.D．4答案C解析如图，令|F1P|＝r1，|F2P|＝r2，那么⇒⇒r2＝.2．数列{an}是公差为2的等差数列，a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝()A．n(n＋1)B．n(n－1)C.D.答案A解析∵a2，a4，a8成等比数列，∴a＝a2·a8，即(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋7d)，将d＝2代入上式，解得a1＝2，∴Sn＝2n＋＝n(n＋1)，故选A.3．[2016·湖北七校联考]已知f(x)是奇函数并且是R上的单调函数，若函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数λ的值是()A.B.C．－D．－答案C解析依题意，方程f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0只有1个解，故f(2x2＋1)＝－f(λ－x)＝f(x－λ)有1解，∴2x2＋1＝x－λ，即2x2－x＋1＋λ＝0有唯一解，故Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－.4．设a>1，若对于任意的x∈[a,2a]，都有y∈[a，a2]满足方程logax＋logay＝3，这时a的取值的集合为()A．{a|1
1，由此解得a≥2.故选B.5．若2x＋5y≤2－y＋5－x，则有()A．x＋y≥0B．x＋y≤0C．x－y≤0D．x－y≥0答案B解析原不等式可变形为2x－5－x≤2－y－5y.即2x－x≤2－y－－y.故设函数f(x)＝2x－x，f(x)为增函数，所以x≤－y，即x＋y≤0，选B.二、填空题6．设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6＋15＝0，则d的取值范围是________．答案(－∞，－2]∪[2，＋∞)解析由S5S6＋15＝0得(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，即2a＋9a1d＋10d2＋1＝0，∴Δ＝81d2－8(10d2＋1)≥0，解得d≤－2或d≥2.7．已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则＝________.答案解析解法一：由已知得∴sinαcosβ＝，cosαsinβ＝，∴＝＝.解法二：令x＝，∵＝，且＝＝＝＝.∵＝，解得x＝，即＝.8．满足条件AB＝2，AC＝BC的三角形ABC的面积的最大值是________．答案2解析可设BC＝x，则AC＝x，根据面积公式得S△ABC＝x，由余弦定理计算得cosB＝，代入上式得S△ABC＝x＝.由得2－20)，则原方程可化为t2＋at＋a＋1＝0，(*)问题转化为方程(*)在(0，＋∞)上有实数解，求a的取值范围．①当方程(*)的根都在(0，＋∞)上时，可得下式⇒即－10)，则原方程可化为t2＋at＋a＋1＝0，变形为a＝－＝－＝－＝－≤－(2－2)＝2－2，当且仅当t＝－1时取等号，所以a的取值范围是(－∞，2－2]．11．设函数f(x)＝cos2x＋sinx＋a－1，已知不等式1≤f(x)≤对一切x∈R恒成立，求a的取值范围．解f(x)＝cos2x＋sinx＋a－1＝1－sin2x＋sinx＋a－1＝－2＋a＋.因为－1≤sinx≤1，所以当sinx＝时，函数有最大值f(x)max＝a＋，当sinx＝－1时，函数有最小值f(x)min＝a－2.因为1≤f(x)≤对一切x∈R恒成立，所以f(x)max≤且f(x)min≥1，即解得3≤a≤4，所以a的取值范围是[3,4]．12．[2017·河南联考]在平面直角坐标系中，动点M到定点F(－1,0)的距离与它到直线x＝－2的距离之比是常数，记M的轨迹为T.(1)求轨迹T的方程；(2)过点F且不与x轴重合的直线m与轨迹T交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点P，在轨迹T上是否存在点Q，使得四边形APBQ为菱形？若存在，请求出直线m的方程；若不存在，请说明理由．解(1)设M(x，y)，根据动点M到定点F(－1,0)的距离与它到直线x＝－2的距离之比是常数，得＝，整理得＋y2＝1，∴轨迹T的方程为＋y2＝1.(2)假设存在直线m，设直线m的方程为x＝ky－1，由消去x，得(k2＋2)y2－2ky－1＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝，x1＋x2＝k(y1＋y2)－2＝，∴线段AB的中点H的坐标为.∵PQ⊥AB，∴直线PQ的方程为y－＝－k，令y＝0，解得x＝－，即P.设Q(x0，y0)，∵P，Q关于点H对称，∴＝，＝(y0＋0)，解得x0＝，y0＝，即Q.∵点Q在椭圆上，∴2＋22＝2，解得k2＝于是＝，即＝±，∴直线m的方程为y＝x＋或y＝－x－.
