问题3深化点取整问题---一道课本习题的深化一、问题的提出纵观近几年各省市高考试题，不难发现以能力立意数学高考试题不断推出一些思路开阔，构思新颖脱俗的信息迁移题，这些试题除了考查知识和技能之外，更加注重对信息迁移的能力的考查，如在高斯函数背景下设置新情景，与高中数学知识交汇处命题，考查学生阅读理解，应用知识的能力，已悄然成为高考命题的一个方向，本文例举高斯函数背景下的信息迁移题，以飨读者.二、问题的探源认真审题，结合已有的数学基础知识，通过逻辑推理得出结论。三、问题的佐证(一)新定义下的取整函数问题例1.设表示不超过的最大整数（如），对于给定的，定义，，则当时，函数的值域是（）A.B.C.D.【答案】D(二)分段函数背景下的取整问题例2.拟定从甲地到乙地通话m分钟的话费符合其中表示不超过m的最大整数，从甲地到乙地通话5.2分钟的话费是()A.3.71B.4.24C.4.77D.7.95【答案】C【解析】,故选C.(三)以研究函数性质为背景的取整问题已知符号表示不超过的最大整数，函数，则以下结论正确的是（）A.函数的值域为B.函数的图象与轴没有公共点C.函数是上的减函数D.函数的图象与轴有且仅有3个公共点时【答案】D四、问题的解决1.已知，其中表示不超过实数的最大整数，是函数的零点，则等于（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】∵，∴，。∴，∴。选B。2.符号表示不超过的最大整数，如，定义函数．给出下列四个结论：①函数的定义域是R，值域为[0,1]；②方程有无数个解;③函数是增函数．其中正确结论的序号有（）A.①③B.③C.②D.②③【答案】C【解析】若，则，不符合题意，故①错误.由于，故函数不是增函数，③错误.，故选.3.用表示不大于实数的最大整数，如，设分别是方程，的根，则（）A.2B.3C.4D.5【答案】C4.阅读下列一段材料，然后解答问题：对于任意实数，符号表示“不超过的最大整数”，在数轴上，当是整数，就是，当不是整数时，是点左侧的第一个整数点，这个函数叫做“取整函数”，也叫高斯（Gauss）函数.如.求的值为（）A.0B.-2C.-1D.1【答案】C【解析】=2,2<−−<1,−=1,−=0,=1,1<<2,=2，由“取整函数”的定义可得，=221+0+1+1+2=1.−−−−故选：C.5.用表示不超过的最大整数，例如，，设函数，若函数的定义域是，，则其值域中元素个数为_________．【答案】【解析】的定义域是，当时，，，函数值有个；当时，，，函数值有个；当时，，，能取到，函数值有个；当时，，，能取到，函数值有个；当时，，，能取到，函数值有个，…当时，，，，函数值有个，值域中元素个数为：，故答案为.6．已知表示不超过的最大整数（如），若函数，则的值域为________.【答案】【解析】因为，，所以或，而，所以或，从而或，故填.7．表示不超过的最大整数，如，，，若，则函数的值域为____________.【答案】{0}8．设表示不超过的最大整数，如，，则方程的解集为__________．【答案】【解析】由可得.故答案为：.9.．已知是偶函数，时，(符号表示不超过的最大整数)，若关于的方程恰有三个不相等的实根，则实数的取值范围为__________．【答案】;【解析】作出函数与的草图(如图所示)．易知直线恒过点，是方程的一个根．从图像可知，当，即时，两个函数的图像恰有三个不同的交点．∴的取值范围为．10.设表示不超过的最大整数，如，，则方程的解集为__________．【答案】【解析】或或，故答案为.11.某市营业区内住宅电话通话费用为前3分钟0.20元，以后每分钟0.10元(前3分钟不足3分钟按3分钟计，以后不足1分钟按1分钟计)．(1)在直角坐标系内，画出一次通话在6分钟内(包括6分钟)的话费y(元)关于通话时间t(分钟)的函数图象；(2)如果一次通话t分钟(t>0)，写出话费y(元)关于通话时间t(分钟)的函数关系式(可用[t]表示不小于t的最小整数)．【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）函数为分段函数形式，每段为常函数，注意区间端点是否取到（2）根据分段函数形式写出函数解析式试题解析：解：(1)如下图所示．
