命题角度2.4：应用正弦定理和余弦定理解实际问题1.如图，某公司要在两地连线上的定点处建造广告牌，其中为顶端，长米，长为80米，设在同一水平面上，从看的仰角分别为.（1）若，求的长。（2）设计中是铅垂方向（垂直于），若要求，问的长至多为多少？【答案】（1）；（2）的长至多约为米.【解析】试题分析：（1）利用正弦定理求解即可；（2）利用三角函数的关系式建立不等式关系即可得到结论．2.某兴趣小组测量电视塔的高度（单位：m），如图所示，垂直放置的标杆的高度，仰角．（1）该小组已经测得一组的值，，请据此算出的值；（2）该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离（单位：），使与的差较大，可以提高测量精确度，若电视塔高度为125m，问为多大时，最大？【答案】（1）米（2）当时，最大．【解析】试题分析：（1）在直角中，可得，在直角中可得，再根据，即可求解的值；（2）先用表示出和，再根据两角和的公式，求出，利用基本不是可知当时，有最大值，即可得到答案．试题解析：（1）由及，得，解得．因此，算出的电视塔的高度是124m．考点：解三角形的实际应用．3.某海轮以公里/小时的速度航行，在点测得海上面油井在南偏东，向北航行40分钟后到达点，测得油井在南偏东，海轮改为北偏东的航向再行驶40分钟到达点.（1）求间的距离；（2）在点测得油井的方位角是多少？【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）在中，根据正弦定理，求，再利用余弦定理算出的长，即可算出两地间的距离；（2）根据内错角相等可证明，从而可得出结论.4.如图，某生态园将一块三角形地的一角开辟为水果园，已知角为，的长度均大于200米，现在边界处建围墙，在处围竹篱笆.（1）若围墙、总长度为200米，如何可使得三角形地块面积最大？（2）已知竹篱笆长为米，段围墙高1米，段围墙高2米，造价均为每平方米100元，若，求围墙总造价的取值范围.【答案】（1）(米)，(米2)；（2）.【解析】试题分析：(1)设，利用题意列出面积的表达式，最后利用均值不等式求解最值即可，注意讨论等号成立的条件和实际问题的定义域；(2)利用题意结合正弦定理求得围墙造价的函数解析式，利用三角形的性质求得的范围即可求得造价的取值范围.试题解析：设(米)，则,所以(米2)当且仅当时，取等号。即(米)，(米2)(2)由正弦定理，得故围墙总造价因为，所以，所以围墙总造价的取值范围为(元)5.如图，有一码头和三个岛屿，，，.（1）求两个岛屿间的距离；（2）某游船拟载游客从码头前往这三个岛屿游玩，然后返回码头.问该游船应按何路线航行，才能使得总航程最短？求出最短航程.【答案】（1）（2）（2）因为，所以，在中，，由余弦定理得，，根据“两点之间线段最短”可知，最短航线是“”或“”，其航程为.所以应按航线“”或“”航行，其航程为.6.如图，是一块半径为，圆心角为的扇形空地.现决定在此空地上修建一个矩形的花坛，其中动点在扇形的弧上，记.(1)写出矩形的面积与角之间的函数关系式；(2)当角取何值时，矩形的面积最大？并求出这个最大面积.【答案】（1）（2）时，S取得最大值【解析】试题分析：(1)由，；(2)化简得.再由当时，矩形CDEF的面积S取得最大值.试题解析：(1)因为：，所以，，所以，.(2)=.因为，所以，所以当，即时，矩形CDEF的面积S取得最大值.【点睛】本题的主要步骤有：利用三角函数的定义求得,再由矩形的面积公式求得函数；利用三角恒等变换化简函数的表达式；利用正弦函数图像求得最值.7.如下图，为对某失事客轮进行有效援助，现分别在河岸选择两处、用强光柱进行辅助照明，其中、、、在同一平面内．现测得长为100米，，，，．（1）求△的面积；（2）求船的长．【答案】（1）；（2）.【解析】（2）由题意，，，在△中，，即，∴，在△中，，在△中，．故船长为米．考点：正、余弦定理的应用．8.如图，某城市有一条公路从正西方通过市中心后转向东偏北角方向的．位于该市的某大学与市中心的距离，且．现要修筑一条铁路，在上设一站，在上设一站，铁路在部分为直线段，且经过大学．其中，，．（Ⅰ）求大学与站的距离；（Ⅱ）求铁路段的长．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】...
