第二节导数的应用利用导数研究函数的单调性考向聚焦利用导数研究函数的单调性属于高考的重点考查内容,常见考查方式有三种:(1)求不含参函数的单调区间(容易题);(2)求含参函数的单调区间(难点是对参数的讨论,中档题);(3)由函数的单调区间(包括两种情况①函数在某区间上是单调增函数或单调减函数,②函数在某区间上存在单调区间),求参数的取值范围.高考试卷中本考点通常出现在解答题的第(1)问,有时与不等式交汇,难度不大,所占分值6分左右,并且持续的重点考查备考指津重视对分类讨论和等价转化数学思想方法的训练,强化两种题型的训练:一是求函数的单调区间,二是已知函数的单调性求参数的取值范围1.(年辽宁卷,文8,5分)函数y=x2-lnx的单调递减区间为()(A)(-1,1](B)(0,1](C)[1,+∞)(D)(0,+∞)解析:由已知得函数的定义域为(0,+∞),y'=x-=(x>0),令y'≤0得解得0
2,则f(x)>2x+4的解集为()(A)(-1,1)(B)(-1,+∞)(C)(-∞,-1)(D)(-∞,+∞)解析:设g(x)=f(x)-2x-4,则g'(x)=f'(x)-2, 对任意x∈R,f'(x)>2,∴g'(x)>0,即g(x)为R上的增函数,又g(-1)=f(-1)+2-4=2+2-4=0,∴x>-1时,g(x)>0,即x>-1时,f(x)>2x+4.故选B.答案:B.3.(年安徽卷,文20)设函数f(x)=sinx-cosx+x+1,00,讨论函数f(x)=lnx+a(1-a)x2-2(1-a)x的单调性.解:由题意知x>0,f'(x)=+2a(1-a)x-2(1-a)=.(1)当a=1时,f'(x)=>0恒成立,函数f(x)在(0,+∞)上为增函数.(2)当a≠1时,令g(x)=2a(1-a)x2-2(1-a)x+1,Δ=4(1-a)2-8a(1-a)=12a2-16a+4=4(3a-1)(a-1),①当a=时, g(x)开口向上且Δ=0,∴g(x)≥0恒成立,∴f'(x)≥0恒成立,∴f(x)在(0,+∞)上为增函数.②当0恒成立,∴f'(x)>0恒成立,∴f(x)在(0,+∞)上为增函数.③当01时,Δ>0,令g(x)=0得x1=或x2=.(ⅰ)当00且x1+x2>0,x1x2>0,∴x1>0,x2>0,∴当x∈(0,),(,+∞),f'(x)>0,f(x)为增函数,∴当x∈(,),f'(x)<0,f(x)为减函数.(ⅱ)当a>1时,g(x)开口向下Δ>0,得x1<0(舍去),x2>0,∴x∈(0,),g(x)>0,f'(x)>0,f(x)为增函数,当x∈(,+∞),f'(x)<0,f(x)为减函数,综上可知当01时,f(x)在(0,)为增函数,在(,+∞)上为减函数.利用导数研究函数的极(最)值考向聚焦该考点主要从以下几个角度进行考查:(1)求函数的极值和最值;(2)由函数的极值求参数;(3)已知函数在给定区间上恒成立,求参数的取值范围;(4)利用最值证明不等式.这类试题在高考试卷中选择题、填空题、解答题都有可能出现,难度中档,所占分值4~5分.这类试题是高考考查的热点,且主要涉及多项式函数、幂函数、分式函数、以e为底的对数函数及以e为底的指数函数等备考指津强化对求函数极值和最值的方法步骤的训练,重视分类讨论和等价转化思想方法的运用,注意恒成立问题的解法训练5.(年陕西卷,文9,5分)设函数f(x)=+lnx,则()(A)x=为f(x)的极大值点(B)x=为f(x)的极小值点(C)x=2为f(x)的极大值点(D)x=2为f(x)的极小值点解析: f'(x)=-+=,当x>2时,f'(x)>0,当x<2时,f'(x)<0,∴x=2是极小值点.答案:D.6.(年浙江卷,文10)设函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R),若x=-1为函数f(x)ex的一个极值点,则下列图象不可能为y=f(x)的图象的是()解析:设g(x)=f(x)ex,则g(x)=(ax2+bx+c)ex,∴g'(x)=ex[ax2+(b+2a)x+b+c],由已知g'(-1)=0,∴a-b-2a+b+c=0,∴a=c.∴f(x)=ax2+bx+c可化为f(x)=ax2+bx+a,∴f(x)=0若有根时,两根之积为1.而D中两根x1<-1,x2<-1,x1x2>1.所以D图一定不成立.故选D.答案:D.7.(年山东卷,文8)已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单...
