专题7三角函数的性质三角函数的性质★★★○○○○函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象最小正周期2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性2kπ－，2kπ＋为增；2kπ＋，2kπ＋为减，k∈Z[2kπ，2kπ＋π]为减；[2kπ－π，2kπ]为增，k∈Zkπ－，kπ＋为增，k∈Z对称中心(kπ，0)，k∈Z，k∈Z，k∈Z对称轴x＝kπ＋，k∈Zx＝kπ，k∈Z求三角函数单调区间的两种方法(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解．(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间．[提醒]求解三角函数的单调区间时，若x的系数为负，应先化为正，同时切莫忽视函数自身的定义域．1[例1]求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝sin，x∈[0，π]；(2)f(x)＝|tanx|；(3)f(x)＝cos，x∈.(2)观察图象可知，y＝|tanx|的单调递增区间是，k∈Z，单调递减区间是kπ－，kπ，k∈Z.(3)当2kπ－π≤2x－≤2kπ(k∈Z)，即kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z时，函数f(x)是增函数；当2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，即kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z时，函数f(x)是减函数．因此函数f(x)在上的单调递增区间是－，，单调递减区间为，.[例2]已知ω>0，函数f(x)＝sin在上是减函数，则ω的取值范围是________．[解析]由＜x＜π，得ω＋＜ωx＋＜πω＋，由题意知⊆＋2kπ，＋2kπ(k∈Z)且≥2×，则且0＜ω≤2，故≤ω≤.2[答案][例3](1)函数y＝1－2sin2是()A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数(2)若函数f(x)＝2tan的最小正周期T满足1＜T＜2，则自然数k的值为________．[解析](1)y＝1－2sin2＝cos2x－＝－sin2x，所以f(x)是最小正周期为π的奇函数．(2)由题意知，1＜＜2，即|k|＜π＜2|k|.又k∈N，所以k＝2或k＝3.[答案](1)A(2)2或3[例4](1)函数f(x)＝(1＋cos2x)sin2x(x∈R)是()A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为的偶函数(2)若函数f(x)＝sin(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝()A.B.C.D.[答案](1)D(2)C1.函数y＝3cos的最小正周期是()A.B.C．2πD．5π解析：选D由T＝＝5π，知该函数的最小正周期为5π.2.已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，φ∈R)，则“f(x)是奇函数”是“φ＝”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3解析：选Bf(x)是奇函数时，φ＝＋kπ(k∈Z)，充分性不成立；φ＝时，f(x)＝Acos＝－Asinωx，为奇函数，必要性成立．所以“f(x)是奇函数”是“φ＝”的必要不充分条件．3.若函数y＝cos(ω∈N*)图象的一个对称中心是，则ω的最小值为()A．1B．2C．4D．8解析：选B由题可知，＋＝kπ＋(k∈Z)，所以ω＝6k＋2(k∈Z)．又ω∈N*，则ωmin＝2.4.已知函数f(x)＝2sin(2x＋φ)在区间上单调且最大值不大于，则φ的取值范围是()A.B.C.D.5.(2017·武汉调研)已知函数f(x)＝sin(x∈R)，下列结论错误的是()A．函数f(x)是偶函数B．函数f(x)的最小正周期为πC．函数f(x)在区间上是增函数D．函数f(x)的图象关于直线x＝对称解析：选Df(x)＝sin＝－cos2x，此函数为最小正周期为π的偶函数，所以A，B正确．由函数y＝cosx的单调性知C正确．函数图象的对称轴方程为x＝(k∈Z)，显然，无论k取任何整数，x≠，所以D错误．6.已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，对于任意x都有f＝f，则f的值为________．解析：∵f＝f，∴x＝是函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的一条对称轴．∴f＝±2.答案：2或－27.函数y＝2sin(x∈[0，π])为增函数的区间是________．答案：____________________________________________________________________________________________4____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________5
