专题突破练(5)立体几何的综合问题一、选择题1．(2019·武汉模拟)已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是()A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βB．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m⊥α，n⊥α，则m∥nD．若m∥α，m∥β，则α∥β答案C解析对于A，若a⊥γ，β⊥γ，则α∥β或α与β相交，故错误；对于B，若m∥α，n∥α，则m与n平行或相交或异面，故错误；对于C，若m⊥α，n⊥α，则m∥n，正确；对于D，若m∥α，m∥β，则α∥β或α与β相交，故错误．选C．2．(2020·昆明高三摸底)已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，则“α∥β”是“l⊥m”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析因为l⊥α，α∥β，所以l⊥β，又m⊂β，所以l⊥m；但l⊥α，l⊥m，m⊂β不能得到α∥β.所以“α∥β”是“l⊥m”的充分不必要条件．故选A．3．(2019·湖南长沙市长郡中学二模)如图，在下列三个正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G均为所在棱的中点，过E，F，G作正方体的截面．在各正方体中，直线BD1与平面EFG的位置关系描述正确的是()A．BD1∥平面EFG的有且只有①，BD1⊥平面EFG的有且只有②③B．BD1∥平面EFG的有且只有②，BD1⊥平面EFG的有且只有①C．BD1∥平面EFG的有且只有①，BD1⊥平面EFG的有且只有②D．BD1∥平面EFG的有且只有②，BD1⊥平面EFG的有且只有③答案A解析对于①，连接BD，因为E，F，G均为所在棱的中点，所以BD∥GE，DD1∥EF，从而可得BD∥平面EFG，DD1∥平面EFG，又BD∩DD1＝D，所以平面BDD1∥平面EFG，所以BD1∥平面EFG.对于②，连接DB，DA1，设正方体的棱长为1，因为E，F，G均为所在棱的中点，所以BD1·GE＝(DD1－DB)·＝(DD1·DA1－DB·DA1)＝×(1××cos45°－××cos60°)＝0，即BD1⊥EG.连接DC1，则BD1·EF＝(DD1－DB)·DC1＝(DD1·DC1－DB·DC1)＝×(1××cos45°－××cos60°)＝0，即BD1⊥EF.又EG∩EF＝E，所以BD1⊥平面EFG.对于图③，设正方体的棱长为1，连接DB，DG，因为E，F，G均为所在棱的中点，所以BD1·EG＝(DD1－DB)·(DG－DE)＝(DD1－DB)·＝DD12－DB·DC＋DB·DA＝－×1×＋××1×＝0，即BD1⊥EG.连接AF，则BD1·EF＝(DD1－DB)·(AF－AE)＝(DD1－DB)·＝DD12－DB·DC－DB·DA＝1－××1×－××1×＝0，即BD1⊥EF.又EG∩EF＝E，所以BD1⊥平面EFG.故选A．4．在四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD．将四边形ABCD沿对角线BD折成四面1体A′－BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，则下列结论正确的是()A．A′C⊥BDB．∠BA′C＝90°C．CA′与平面A′BD所成的角为30°D．四面体A′－BCD的体积为答案B解析 AB＝AD＝1，BD＝，∴AB⊥AD．∴A′B⊥A′D． 平面A′BD⊥平面BCD，平面A′BD∩平面BCD＝BD，CD⊥BD，∴CD⊥平面A′BD，∴CD⊥A′B，又A′D∩CD＝D，∴A′B⊥平面A′CD，∴A′B⊥A′C，即∠BA′C＝90°.故选B．5．(2019·郑州二模)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝DD1＝1，AB＝，E，F，G分别是棱AB，BC，CC1的中点，P是底面ABCD内一动点，若直线D1P与平面EFG没有公共点，则三角形PBB1面积的最小值为()A.B．1C．D．答案C解析补全截面EFG为截面EFGHQR，如图，设BT⊥AC于T， 直线D1P与平面EFG不存在公共点，∴D1P∥平面EFGHQR，易知平面ACD1∥平面EFGHQR，∴P∈AC，且当P与T重合时，BP＝BT最短，此时△PBB1的面积最小，由等积法：BT×AC＝BC×BA，即BT×＝×1×，∴BT＝，又BB1⊥平面ABCD，∴BB1⊥BP，△PBB1为直角三角形，∴△PBB1面积的最小值为××1＝，故选C.6．如图所示，已知在多面体ABC－DEFG中，AB，AC，AD两两垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB＝AD＝DG＝2，AC＝EF＝1，则该多面体的体积为()A．2B．4C．6D．82答案B解析如图所示，将多面体补成棱长为2的正方体，那么显然所求的多面体的体积即为该正方体体积的一半，于是所求几何体的体积为V＝×23＝4.故选B．7．(2019·湖北黄冈中学二模)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为2的等边三角形，俯视图是半圆(如图)．现有一只蚂蚁从点A出发沿该几何体的侧面环绕一周回到A点，则蚂蚁所经过路程的最小值为(...
