课外拓展阅读归纳、猜想、证明[典例][2016·江西九江模拟]设数列{an}的前n项和为Sn，并且满足2Sn＝a＋n，an>0(n∈N*)．(1)猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明；(2)设x>0，y>0，且x＋y＝1，证明：＋≤.[审题视角](1)将n＝1,2,3代入已知等式得a1，a2，a3，从而可猜想an，并用数学归纳法证明．(2)利用分析法，结合x>0，y>0，x＋y＝1，利用基本不等式可证．(1)[解]分别令n＝1,2,3，得∵an>0，∴a1＝1，a2＝2，a3＝3.猜想：an＝n.∵2Sn＝a＋n，①当n≥2时，2Sn－1＝a＋(n－1)．②①－②，得2an＝a－a＋1，即a＝2an＋a－1.(ⅰ)当n＝2时，a＝2a2＋12－1，∵a2>0，∴a2＝2.(ⅱ)假设当n＝k(k≥2)时，ak＝k，那么当n＝k＋1时，a＝2ak＋1＋a－1＝2ak＋1＋k2－1，∴[ak＋1－(k＋1)][ak＋1＋(k－1)]＝0，∵ak＋1>0，k≥2，∴ak＋1＋(k－1)>0，∴ak＋1＝k＋1.即当n＝k＋1时也成立．∴an＝n(n≥2)．显然n＝1时，也成立，故对于一切n∈N*，均有an＝n.(2)[证明]要证＋≤，只要证nx＋1＋2＋ny＋1≤2(n＋2)．即n(x＋y)＋2＋2≤2(n＋2)，将x＋y＝1代入，得2≤n＋2，即只要证4(n2xy＋n＋1)≤(n＋2)2，即4xy≤1.∵x>0，y>0，且x＋y＝1，∴≤＝，即xy≤，故4xy≤1成立，所以原不等式成立．[答题模板]第1步：寻找特例a1，a2，a3等．第2步：猜想an的公式．第3步：转换递推公式为an与an－1的关系．第4步：用数学归纳法证明an.①验证递推公式中的第一个自然数n＝2.②推证ak＋1的表达式为k＋1.1③补验n＝1，说明对于n∈N*成立．第5步：分析法证明．[方法点睛](1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳——猜想——证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性．(2)为了正确地猜想an，首先准确求出a1，a2，a3的值．(3)证明n＝k到n＝k＋1这一步时，忽略了假设条件去证明，造成不是纯正的数学归纳法．如本题：∵2Sn－1＝a＋n－1，∴2(Sn－Sn－1)＝a－a＋1，推导an与an－1的递推关系，再推出an，则不是数学归纳法．(4)本题第(2)问中的不等式证明不是关于n的不等式，由x＋y＝1来推证，则不能称为数学归纳法．2
